تعريف متوازي المستطيلات وأهم خصائصه

مفهوم متوازي المستطيلات

يمكن وصف متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) كأحد الأشكال الهندسية الثلاثية الأبعاد، حيث يمتاز بوجود طول، عرض، وارتفاع. يتميز هذا الشكل بمظهره الشبيه بالصندوق، ويعتبر مثالاً محدداً للمنشور.

مكونات متوازي المستطيلات

يتكون متوازي المستطيلات من الأجزاء التالية:

• الوجوه

تتكون الوجوه (بالإنجليزية: Faces) لمتوازي المستطيلات من ستة أسطح مستطيلة، تعرف بالأوجه الخاصة بالمتوازي.

• الأحرف

الأحرف (بالإنجليزية: Edges) تشير إلى الجوانب التي تشكل الأسطح ويمكن تعريفها أيضاً بأنها الخطوط المستقيمة التي تربط بين أي رأسين متجاورين في المتوازي.

• الرؤوس

الرؤوس (بالإنجليزية: Vertices) هي النقاط أو الزوايا التي تلتقي عندها عادة ثلاثة أحرف. وكلها قائمة.

خصائص متوازي المستطيلات

يتميز متوازي المستطيلات بمجموعة من الخصائص، ومنها:

• إتقان كل زوج من الوجوه المتقابلة في متوازي المستطيلات بحيث تكون متوازية ومتطابقة تماماً.
• يمتلك متوازي المستطيلات ستة وجوه، وثمانية رؤوس، واثني عشر حرفاً.
• تماثل الحواف المتقابلة بحيث تكون متوازية.

تجدر الإشارة إلى أنه عندما تتساوى الأبعاد الثلاثة (الطول، العرض، والارتفاع) فإن شكل متوازي المستطيلات يُطلق عليه اسم المكعب (بالإنجليزية: Cube).

مساحة متوازي المستطيلات

يمكن حساب مساحة متوازي المستطيلات باستخدام القوانين التالية:

قانون مساحة متوازي المستطيلات

تُحسب المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات وفقاً للعلاقة التالية:

• المساحة الكلية = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع). وبالرموز: م = 2 × (س × ص + س × ع + ص × ع)، حيث:
  • م: مساحة متوازي المستطيلات.
  • س: طول متوازي المستطيلات.
  • ص: عرض متوازي المستطيلات.
  • ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.

• المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات، وهي مجموع مساحات كافة الأوجه ما عدا القاعدتين، تساوي: 2 × (الطول + العرض) × الارتفاع. وبالرموز: المساحة الجانبية = 2 × (س + ص) × ع، حيث:
  • س: طول متوازي المستطيلات.
  • ص: عرض متوازي المستطيلات.
  • ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.
• المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.

ولإيضاح ذلك، متوازي المستطيلات يُعتبر شكلاً ذا ستة أوجه، وبحساب المساحة يجب إيجاد مجموع مساحات تلك الأوجه:

وعندما نعلم أن كل زوج من الأوجه متطابقة، يمكن احتساب المساحة كالآتي: 2 × مساحة القاعدتين + 2 × مساحة أول وجهين جانبيين + 2 × مساحة ثاني وجهين جانبيين.

أمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات

فيما يلي بعض الأمثلة لتوضيح كيفية حساب مساحة متوازي المستطيلات:

حساب المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات

مثال: إذا كان طول قاعدة متوازي مستطيلات يساوي 3 سم، وعرضها 5 سم، وارتفاعه 4 سم، احسب مساحته الجانبية.

الحل: المساحة الجانبية = 2 × (3 + 5) × 4 = 64 سم².

حساب المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات

مثال 1: متوازي مستطيلات بطول 10 م وعرض 4 م وارتفاع 5 م، احسب مساحته الكلية.

الحل: باستخدام القانون: المساحة الكلية = 2 × (10 × 4 + 10 × 5 + 4 × 5) = 220 م².

مثال 2: إذا كان طول قاعدة صندوق على شكل متوازي مستطيلات 40 سم، وعرضه 31 سم، وارتفاعه 12 سم، احسب مساحته الكلية.

الحل: باستخدام القانون: المساحة الكلية = 2 × (40 × 31 + 40 × 12 + 31 × 12) = 4184 سم².

حجم متوازي المستطيلات

يتم حساب حجم متوازي المستطيلات باستخدام القوانين التالية:

قانون حجم متوازي المستطيلات

حجم متوازي المستطيلات، والذي يُعبر عن مقدار الفضاء الداخلي له، يمكن حسابه باستخدام العلاقة التالية:

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع، وبالرموز: ح = س × ص × ع

حيث:

• ح: حجم متوازي المستطيلات.
• س: طول متوازي المستطيلات.
• ص: عرض متوازي المستطيلات.
• ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.

أمثلة على حساب حجم متوازي المستطيلات

مثال 1: دفتر صغير على شكل متوازي مستطيلات بطول 6 سم وعرض 4 سم وارتفاع 1 سم، احسب عدد الصفحات اللازمة لتعبئته.

الحل: الحجم = 6 × 4 × 1 = 24 سم³، لذا يحتاج إلى 24 سم³ من الصفحات.

مثال 2: احسب حجم الشوكولاتة داخل علبة على شكل متوازي مستطيلات إذا كان طول قاعدتها 12 سم، وعرضها 5 سم، وارتفاعها 2.4 سم.

الحل: الحجم = 12 × 5 × 2.4 = 144 سم³، إذن حجم الشوكولاتة هو 144 سم³.

أقطار متوازي المستطيلات

لمتوازي المستطيلات نوعان من الأقطار:

• أقطار الوجه (بالإنجليزية: Face Diagonals) وهي الخطوط المستقيمة التي تربط بين زوايا كل وجه متقابل، ويحتوي كل وجه على قطرين، ليبلغ العدد الإجمالي 12 قطراً. لحساب طولها يمكن استخدام القوانين التالية:
  • طول قطر القاعدة = الجذر التربيعي (مربع الطول + مربع العرض)، وبالرموز: طول قطر القاعدة = (س² + ص²) √.
  • طول قطر أول وجهين جانبيين = الجذر التربيعي (مربع الطول + مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر أول وجهين جانبيين = (س² + ع²) √.
  • طول قطر ثاني وجهين جانبيين = الجذر التربيعي (مربع العرض + مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر ثاني وجهين جانبيين = (ص² + ع²) √.

• أقطار متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Space Diagonals) وهي الخطوط المستقيمة التي تربط بين كل رأسين متقابلين، ويحتوي كل متوازي مستطيلات على أربعة أقطار. يمكن حساب الطول بواسطة القاعدة التالية:
• طول القطر = الجذر التربيعي (مربع الطول + مربع العرض + مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول القطر = (س² + ص² + ع²) √.

أمثلة على حساب أقطار متوازي المستطيلات

إليكم بعض الأمثلة لحساب أقطار متوازي المستطيلات:

مثال 1: بركة سباحة على شكل متوازي مستطيلات، بقاعدة طولها 13 سم، وعرضها 9 سم، وارتفاعها 3 سم، احسب طول قطر البركة.

الحل:

1. باستخدام قانون طول القطر = (الطول² + العرض² + الارتفاع²) √
2. طول القطر = (13² + 9² + 3²) √ = 259 √ = 16.1 سم.
3. إذًا، طول قطر البركة هو 16.1 سم.

مثال 2: ما هو طول قطر القاعدة لمتوازي مستطيلات طول قاعدته 7 سم، وعرضها 5 سم، وارتفاعه 2 سم؟

الحل:

1. باستخدام قانون طول قطر القاعدة = (الطول² + العرض²) √
2. طول قطر القاعدة = (7² + 5²) √ = (74) √ = 8.6 سم.
3. إذًا، طول قطر القاعدة الأولى = طول قطر القاعدة الثانية = 8.6 سم.

مثال 3: ما هو طول قطر كل وجه في متوازي مستطيلات يبلغ ارتفاعه 5.5 سم، وطول قاعدته 9.6 سم، وعرض 7 سم؟

الحل:

1. لحساب قطر أول وجهين جانبيين:
   1. باستخدام قانون طول قطر أول وجهين = (الطول² + الارتفاع²) √
   2. طول قطر أول وجهين = (9.6² + 5.5²) √ = (122.41) √ = 11.06 سم.
   3. إذًا، طول قطر أول وجه لمتوازي المستطيلات = طول قطر ثاني وجه = 11.06 سم.
2. باستخدام قانون طول قطر ثاني وجهين:
   1. طول قطر ثاني وجهين = (العرض² + الارتفاع²) √
   2. طول قطر ثاني وجهين = (7² + 5.5²) √ = (79.25) √ = 8.9 سم.
   3. إذًا، طول قطر ثالث وجه = طول قطر رابع وجه = 8.9 سم.

فيديو يشرح حجم ومساحة متوازي المستطيلات

للمزيد من المعلومات حول هذا الشكل الهندسي، يمكنك متابعة الفيديو المقدم: