تطبيقات المعادلات التفاضلية في مجال الهندسة الكهربائية
تُعتبر المعادلات التفاضلية ذات المعامل الثابت من الدرجة الأولى والثانية من الموضوعات الأساسية في حل المشكلات الهندسية الكهربائية، حيث تُستخدم في العديد من التطبيقات المهمة. فيما يلي أبرز هذه التطبيقات:
الجهد الكهربائي
تُمثل المعادلات التفاضلية عنصرًا جوهريًا في معالجة تقنيات تصميم الجهد الكهربائي. تم تصميم شبكة LCK المتسلسلة كدائرة أساسية لحل معادلة الجهد للدائرة الكهربائية وتقييم القوى المؤثرة بداخلها، مثل الموجة الجيبية التي تعكس منحنى الموجة المستمرة وتسمى بهذا الاسم نسبة إلى دالة الجيب.
من المهم الإشارة إلى أن المعادلات التفاضلية تلعب دورًا في تفسير موجات السعة التي توضح القيم القصوى والإشعاعات من الموجات الصوتية الدورية. كما تساهم في توضيح الموجات الترددية التي تمثل قيم التردد للجهد الكهربائي وفقًا لأعلى وأدنى قيمها.
علاوة على ذلك، يظهر تأثير المعادلات التفاضلية بصورة واضحة في دراسة الدوائر الكهربائية التي تحتوي على معالم متغيرة دوريًا. على سبيل المثال، تتغير سعة الدائرة خطيًا مع الزمن، مما يستدعي استخدام المعادلة الرياضية بعبارات عامة، مع تقديم أمثلة لنظائرها الكهربائية. تم مناقشة كيفية تحويل معادلة ماثيو إلى معادلة هيل، التي حُلت بصورة غير خطية تتعلق بآلية توليد التوافقيات الفرعية.
تحويل لابلاس
يعتبر تحويل لابلاس أداة فعالة في مجال الهندسة الكهربائية، حيث يتم من خلاله تحويل المعادلات المرتبطة بالزمان إلى معادلات مكافئة في المستوى المعقد. يعد تحويل لابلاس تحويلًا تكامليًا يُستخدم لحل المعادلات التفاضلية العادية ومعالجتها، مما يجعله أداة رئيسية في تحليل الدوائر الكهربائية.
يمكن التعبير عن تحويل لابلاس لدالة معينة f(s) باستخدام التكامل المحدود من الصفر إلى اللانهاية لدالة الزمن f(t) مضروبًا في الدالة الأسية الناتجة عن ضرب العدد السالب s بالزمن، كما يلي:
معادلات ماكسويل
تمثل معادلات ماكسويل مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تشكل مع معادلات قوة لورنتز الأساس للديناميكا الكهربائية الكلاسيكية، بالإضافة إلى هندسة البصريات والدوائر الكهربائية. تُعتبر هذه المجالات قاعدة أساسية للتقنيات الكهربائية والاتصالات الحديثة.
تحدد معادلات ماكسويل كيفية إنتاج المجالات الكهربائية والمغناطيسية وتغييرها نتيجة الشحنات والتيارات، وسُميت هذه المعادلات على اسم العالم الإسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل الذي نشر النسخة الأولية منها بين عامي 1861 و1862.
أجهزة التبريد الكهربائية
تلعب المعادلات التفاضلية دورًا محوريًا في تطبيق قانون نيوتن للتبريد، حيث يظهر نموذج المعادلة الخاص بها بالشكل التالي:
dθ/dt=−k(θ−θs)
حيث θ = θ0 عند t = 0.
بالرجوع إلى المعادلة السابقة، يتم استخدام المعادلات التفاضلية لفصل الجزئين وإجراء التكامل كما يلي:
ln(θ−θs)=−kt+C
عند استنتاج العلاقة بين t و θ، يلاحظ أن درجة حرارة الجسم الكهربائي تنخفض إلى درجة حرارة المحيط، مما يُستفاد منه في تصميم الأجهزة الكهربائية.