شرح مفهوم معادلة الدائرة

تعريف معادلة الدائرة

تُعرف الدائرة (الدائرة) بأنها شكل هندسي مغلق يتكون من مجموعة من النقاط التي تقع على بُعد متساوٍ من نقطة مركزية يُطلق عليها اسم المركز. وبما أن المسافة الثابتة بين أي نقطة على محيط الدائرة ومركزها تعرف بنصف القطر، فإن معادلة الدائرة تُعبر عن العلاقة بين إحداثيات أي نقطة تقع على محيطها. بالنسبة لدائرة مركزها في نقطة الأصل (0، 0)، يمكن كتابة معادلة الدائرة التي تعتمد على إحداثيات النقطة (س، ص) باستخدام نظرية فيثاغورس.

عند رسم خط أفقي على المحور السيني حتى النقطة س، وخط عمودي على المحور الصادي حتى النقطة ص، يتشكل مثلث قائم الزاوية حيث يمثل الوتر نصف قطر الدائرة. وبالتالي، تصبح معادلة الدائرة بحسب نظرية فيثاغورس بالشكل التالي:

س² + ص² = ر²

حيث أن:

• (س، ص): إحداثيات أي نقطة تقع على محيط الدائرة.
• ر: نصف قطر الدائرة.

تمثل هذه المعادلة دائرة مركزها عند نقطة الأصل ونصف قطرها هو (ر).

يمكن إعادة صياغة معادلة الدائرة إلى شكلها القياسي أو العام كما يلي:

معادلة الدائرة بالصورة القياسية

يتخذ شكل معادلة الدائرة بالصورة القياسية عندما يكون نصف قطرها (ر) ومركزها عند النقطة (ف، ق) لأي نقطة (س، ص) على الدائرة بالصورة التالية:

(س – ف) ² + (ص – ق) ² = ر²

حيث إن:

• (س، ص): إحداثيات أي نقطة تقع على الدائرة.
• (ف، ق): إحداثيات مركز الدائرة.
• ر: نصف قطر الدائرة.

معادلة الدائرة بالصورة العامة

يمكن كتابة معادلة الدائرة في شكلها العام من خلال توسيع معادلة الصورة القياسية، فتكون على النحو التالي:

س² + ص² + 2 أ س + 2 ب ص + جـ = 0

حيث إن:

• (أ، ب، جـ): أعداد ثابتة.
• (س، ص): إحداثيات أي نقطة تقع على الدائرة.

تستخدم المعادلة بالصورة العامة لاستنتاج إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها كما يلي:

• إحداثيات مركز الدائرة = (- أ، – ب).
• نصف قطر الدائرة = √(أ² + ب² – جـ).

أمثلة على معادلة الدائرة

فيما يلي بعض الأمثلة الشائعة حول معادلة الدائرة:

إيجاد معادلة الدائرة إذا كانت إحداثيات مركزها ونصف قطرها معلومين

ما هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها 15 وإحداثيات مركزها (1-، 6-)؟

الحل:

نبدأ بكتابة معادلة الدائرة بالصورة القياسية، وتعويض نصف قطرها 15 وإحداثيات المركز (ف= 1-)، و(ق= 6-) بالشكل التالي:

1. (س – ف) ² + (ص – ق) ² = ر²
2. (س – -1) ² + (ص – -6) ² = 15²
3. (س + 1) ² + (ص + 6) ² = 225

إيجاد نصف قطر الدائرة وإحداثيات مركزها من المعادلة بالصورة العامة

احسب نصف قطر الدائرة وإحداثيات مركزها إذا كانت المعادلة س² + ص² + 8 س + 6 ص + 9 = 0.

الحل:

تُكتب المعادلة بالشكل العام:

1. س² + ص² + 2 أ س + 2 ب ص + جـ = 0
2. نلاحظ أن:
3. 2 أ = 8، وعليه أ = 4.
4. 2 ب = 6، وعليه ب = 3.
5. جـ = 9.
6. لذا، إحداثيات مركز الدائرة = (- أ، – ب) = (4-، 3-).
7. ونصف قطر الدائرة = √(أ² + ب² – جـ) = √(4² + 3² – 9) = √(16) = 4.
8. وبالتالي، فإن نصف قطر الدائرة هو 4 وإحداثيات مركزها (4-، 3-).