تقرير شامل حول المعادلات التفاضلية المتجانسة

المعادلات التفاضلية المتجانسة

تُعرف المعادلات التفاضلية على أنها المعادلات التي تشمل مشتقات دالة معينة تتضمن مجموعة من المتغيرات، وهي تُصنف إلى نوعين: متجانسة وغير متجانسة. تُعتبر المعادلات التفاضلية المتجانسة تلك المعادلات التي تتساوى فيها درجات كل من (x, y) في الحدود. يمكن التعبير عنها بالصيغة f(kx, ky) = k^(N) * f(x, y)، حيث يمثل k ثابتًا لا يساوي صفر. الشكل العام لهذه المعادلات يُكتب كالتالي: dy/dx = f(x,y). فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية المتجانسة:

1. f(x,y) = 2x – 8y
2. f(x,y) = sin(x/y)
3. f(x,y) = x^2 + 8xy + 9y^2
4. f(x,y) = (x^2 + y^2) / (xy)

عند صياغة هذه المعادلات لتصبح على شكل f(kx, ky)، يجب أن ينتج عن ذلك k^(N) * f(x, y) للتأكد من أنها معادلات متجانسة. إليكم طرق للتحقق من المعادلات المذكورة أعلاه:

1. f(kx, ky) = 2kx – 8ky، وبالتالي: f(kx, ky) = k(2x – 8y).
2. f(kx, ky) = sin(kx/ky)، وبالتالي: f(kx, ky) = sin(x/y).
3. f(kx, ky) = k^2 * x^2 + 8(kx)(ky) + 9 * k^2 * y^2، وبالتالي: f(kx, ky) = k^2 * (x^2 + 8xy + 9y^2).
4. f(kx, ky) = (k^2 * x^2 + k^2 * y^2) / (k^2 * xy)، وبالتالي: f(kx, ky) = (x^2 + y^2) / (xy).

أسلوب حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

يتم حل المعادلات التفاضلية المتجانسة من خلال تكامل المعادلات، ولكن يجب بداية اتباع الخطوات التالية:

• فصل المتغيرات عن المشتقات وتمييزهما على جانبي المعادلة بحيث تأخذ الشكل dy/dx = f(x, y).
• نكتب المتغيرات على صورة y = v × x ثم استخدم المشتق ليصبح dy/dx = d(v × x) / dx ومن هنا نحصل على:

dy/dx = v × dx/dx + x × dv/dx

dy/dx = v + x × dv/dx

• نعيد ترتيبها لتصبح g(v) = v + x × dv/dx وبالتالي يصبح: g(v) – v = x × dv/dx.
• بفصل المتغيرات، نحصل على dv / (g(v) – v) = dx/x.
• نُكامل طرفي المعادلة ونحلها.
• نقوم بإبدال (v) بواسطة v = y/x في الناتج النهائي.

مثال محلول لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة

احسب حل المعادلة: dy/dx = (x^2 + y^2) / (xy).

الحل:

• نفصل الحدود في المعادلة

dy/dx = (x^2 / xy) + (y^2 / xy)

dy/dx = (x/y) + (y/x)

dy/dx = (y/x)^(-1) + (y/x)؛ لكتابة الحدود على صورة (y/x).

• نُعوض عن (y) بكتابتها على شكل y = v × x و dy/dx = v + x × dv/dx ثم نعوضها في المعادلة.

v + x × dv/dx = v^(-1) + vx × dv/dx = v^(-1)

• فصل المتغيرات

v × dv = (1/x) × dx

• نُكامل طرفي المعادلة لنحصل على

v^(2) / 2 = ln(x) + c؛ حيث أن c هو ثابت الناتج من التكامل.

• نعيد استبدال v بواسطة v = y/x لنصبح

(y/x)^(2) = 2 × (ln(x) + c)

أهمية المعادلات التفاضلية واستخداماتها

تُعتبر المعادلات التفاضلية أدوات أساسية تُستخدم في العديد من التطبيقات في الحياة الواقعية، بما في ذلك مجموعة من مجالات الهندسة والفيزياء والعلوم وغيرها. فإن الدالة الموجودة فيها تُعبر عن عملية يتم حسابها، بينما تعمل المشتقات على تحديد معدل التغير في أداء تلك العملية. إليك بعض من الاستخدامات الهامة للمعادلات التفاضلية:

• تقييم التغيرات في درجات الحرارة.
• المعادلة التي تصف عملية تفريغ المكثفات R × dQ/dt + Q/C = 0.
• التغير في الضغط الجوي مع الارتفاع [dP/dh = -p × [(m × g) / kT.
• تقدير الربح والخسارة في مجالات الاستثمار التجاري.