تعريف الهرم وأهميته في الهندسة والمعمارية

تعريف الهرم

الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) هو شكل هندسي يتميز بوجود قاعدة وأوجه مثلثية تلتقي في نقطة تسمى رأس الهرم. ويشمل تعريف الهرم ما يلي:

• الهرم القائم: (بالإنجليزية: Right Pyramid) يكون الهرم قائماً إذا كان الخط الواصل بين الرأس والقاعدة عمودياً على القاعدة. يُعرف الهرم القائم المنتظم بأنه هرم قائم تكون قاعدته مضلعاً منتظماً، أما إذا كانت قاعدته غير منتظمة، فإنه يُعتبر هرم غير منتظم.
• الهرم المائل: (بالإنجليزية: Oblique Pyramid) هو الهرم الذي حيث لا يتلاقى مركز قاعدته بشكل مباشر مع رأسه، وأوجهه المثلثية غير متساوية.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت قاعدة الهرم عبارة عن مضلع منتظم، فإن جميع الأوجه الجانبية المثلثية ستكون متطابقة ومتساوية الساقين. ولا يمكن أن تكون قاعدة الهرم دائرية أو بيضاوية، بل يجب دائماً أن تكون مضلعاً كالمربع، المثلث، الشكل الخماسي، أو السداسي.

أنواع الهرم

يمكن اعتبار أي مضلع كقاعدة للهرم، وعادة ما يُسمى الهرم بناءً على شكل قاعدته. فيما يلي بعض الأنواع الشائعة من الهرم وخصائص كل منها:

• الهرم الثلاثي: (بالإنجليزية: Triangular Pyramid) يحتوي على أربعة أوجه، أربعة منها مثلثات، بحيث تشكل القاعدة، و4 زوايا، و6 حواف.
• الهرم الرباعي: (بالإنجليزية: Square Pyramid) يتكون من خمسة أوجه، أربعة منها مثلثات، والوجه الخامس هو القاعدة مربع الشكل، ويحتوي على 5 زوايا و8 حواف.
• الهرم الخماسي: (بالإنجليزية: Pentagonal Pyramid) له ستة أوجه، خمسة منها مثلثات، والوجه السادس هو قاعدة خماسية، ويحتوي على 6 زوايا و10 حواف.

قانون حساب مساحة الهرم

يمكن حساب المساحة الكلية للهرم القائم عبر حساب مساحة وجه واحد من الأوجه المثلثية وضربها بعددها، ثم إضافة مساحة القاعدة لتحديد المساحة الكلية. ويمكن حساب مساحة الأوجه الجانبية باستخدام قانون مساحة المثلث، بينما تُحتسب مساحة القاعدة وفقاً لشكلها. لذا يمكن استخدام القانون التالي لحساب المساحة الكلية للهرم القائم المنتظم:

المساحة الكلية للهرم القائم المنتظم = مساحة القاعدة + 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي

ملاحظة: إذا كان الهرم مائلاً أو غير منتظم، فإن حساب المساحة تصبح أكثر تعقيداً، حيث يجب حساب مساحة كل وجه على حدة ثم جمعها معاً، بسبب عدم تطابق أوجهه.

حساب المساحة الكلية للهرم المنتظم حسب شكل قاعدته

يمكن استخدام القوانين التالية لحساب المساحة الكلية للهرم المنتظم حسب شكل قاعدته:

• مساحة الهرم الثلاثي: إذا كانت قاعدة الهرم مثلثية الشكل، يمكن حساب المساحة بحساب التالي:
  • مساحة الهرم الثلاثي = 1/2 × (أ × ب) + 3/2 × (ب × ع)، حيث:
    • أ: ارتفاع القاعدة المثلثية
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة المثلثية.
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم.
    • أما مساحة القاعدة المثلثية فتساوي 1/2 × أ × ب.
• مساحة الهرم الرباعي: إذا كانت قاعدة الهرم مربعة الشكل، يتم حساب المساحة كما يلي:
  • مساحة الهرم الرباعي = ب² + 2 × (ب × ع)، حيث:
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة.
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم.
    • ومساحة القاعدة مربعة الشكل تساوي ب².
• مساحة الهرم الخماسي: إذا كانت قاعدة الهرم خماسية الشكل، تُحسب المساحة كما يلي:
  • مساحة الهرم الخماسي = 5/2 × (أ × ب) + 5/2 × (ب × ع)، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة الخماسية إلى أحد أضلاعها.
    • ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم.
    • ومساحة القاعدة الخماسية تساوي 5/2 × أ × ب.
• مساحة الهرم السداسي: إذا كانت قاعدة الهرم سداسية الشكل، يُحسب المساحة كما يلي:
  • مساحة الهرم السداسي = 3 × (أ × ب) + 3 × (ب × ع)، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاعها.
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
    • ع: الارتفاع الجانبي للهرم.
    • ومساحة القاعدة السداسية تساوي 3 × أ × ب.

قانون حساب حجم الهرم

يمكن حساب حجم الهرم باستخدام القانون التالي:

• حجم الهرم = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.

لكل نوع من الهرم قانون خاص به لحساب الحجم، كما يلي:

• حجم الهرم الثلاثي: إذا كانت قاعدة الهرم مثلثية، يتم حساب الحجم كالآتي:
  • حجم الهرم الثلاثي = 1/6 × أ × ب × ل، حيث:
    • أ: ارتفاع القاعدة المثلثية.
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة المثلثية.
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم (أي الخط العمودي بين رأس الهرم ومركز قاعدته).
• حجم الهرم الرباعي: إذا كانت قاعدة الهرم مربعة، يتم حساب الحجم كالتالي:
  • حجم الهرم الرباعي = 1/3 × ب² × ل، حيث:
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة.
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم.
• حجم الهرم الخماسي: إذا كانت قاعدة الهرم خماسية، يتم حساب الحجم باستخدام القانون:
  • حجم الهرم الخماسي = 5/6 × أ × ب × ل، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة الخماسية إلى أحد أضلاع القاعدة.
    • ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
    • ع: الارتفاع العمودي للهرم.
• حجم الهرم السداسي: إذا كانت قاعدة الهرم سداسية، يتم حساب الحجم كما يلي:
  • حجم الهرم السداسي = أ × ب × ل، حيث:
    • أ: المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد الأضلاع.
    • ب: طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
    • ل: الارتفاع العمودي للهرم.

أمثلة متنوعة حول الهرم

وفيما يلي أمثلة متنوعة لتطبيق مفاهيم الهرم:

• المثال الأول: ما هو حجم الهرم الثلاثي القائم الذي قاعدته مثلث متساوي الساقين، أطوال أضلاعه 15 سم و 15 سم و 18 سم، وارتفاعه 20 سم؟
  • الحل: حجم الهرم الثلاثي = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • بما أن القاعدة مثلثية، يمكن حساب مساحتها باستخدام قانون مساحة المثلث:
    • نظرًا لأن ارتفاع المثلث غير معروف، يمكن حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس كالتالي: طول أحد الضلعين المتساويين بالضلع (15²) = (نصف قاعدة المثلث)² + ارتفاع المثلث²، وبالتالي: ارتفاع القاعدة = √(15²-9²) = 12 سم.
    • وبالتالي مساحة القاعدة المثلثية = 1/2 × 18 × 12 = 108 سم².
  • بعد معرفة مساحة القاعدة، يمكن حساب حجم الهرم:
    • حجم الهرم الثلاثي = 1/3 × 108 × 20 = 720 سم³.
• المثال الثاني: ما هو حجم الهرم الرباعي الذي ارتفاعه 9 م، وطول أحد أضلاع قاعدته 4 م؟
  • الحل: حجم الهرم = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • بما أن القاعدة مربعة، يتم حساب المساحة كالتالي:
    • مساحة المربع = طول الضلع² = 4² = 16 م².
  • بعد ذلك، نحسب حجم الهرم الرباعي كالتالي:
    • حجم الهرم الرباعي = 1/3 × 16 × 9 = 48 م³.
• المثال الثالث: يريد مهندس معماري بناء هرم رباعي الشكل، مع كمية من الرمل تساوي 12,000 قدم³. إذا كانت طول قاعدة الهرم 30 قدم، فما هو ارتفاع الهرم المطلوب؟
  • الحل: كمية الرمل = حجم الهرم الرباعي = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • بما أن القاعدة مربعة، فإن المساحة = طول الضلع²، وبالتالي:
    • مساحة القاعدة = 30² = 900 قدم².
  • التعويض في قانون حجم الهرم لإيجاد الارتفاع كالآتي:
    • حجم الهرم = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع، ومن ثم:
      12000 = 1/3 × 900 × الارتفاع، وبالتالي فإن ارتفاع الهرم = 40 قدم.
• المثال الرابع: هرم رباعي طول أحد اضلاع قاعدته المربعة 10 م، وطول أحد أضلاع الأوجه المثلثة للهرم 13 م، فما هو حجمه؟
  • الحل: حجم الهرم الرباعي = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
  • حيث أن ارتفاع الهرم غير معلوم، يمكن حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس لأن ضلع وجه الهرم الجانبي يشكل مع نصف القاعدة مثلث قائم:
    • طول ضلع الوجه الجانبي² = (نصف طول ضلع القاعدة)² + (ارتفاع الهرم الجانبي)²، وبالتالي:
      13² = (5)² + (الارتفاع الجانبي)²، ومنه: الارتفاع الجانبي = √144 = 12 م.
  • بعد إيجاد الارتفاع الجانبي، يمكن حساب الارتفاع العمودي للهرم باستخدام نظرية فيثاغورس على النحو التالي:
    • (ارتفاع الهرم الجانبي)² = (نصف طول القاعدة)² + (ارتفاع الهرم)²، ومن ثم:
      (الارتفاع الجانبي)² = 5² + (ارتفاع الهرم)² = 12²، وبالتالي الارتفاع العمودي للهرم = √119.
  • حساب مساحة قاعدة الهرم كما يلي:
    • مساحة القاعدة = مساحة المربع = طول الضلع² = 10² = 100 م².
  • وأخيراً، حساب حجم الهرم الرباعي كالتالي:
    • حجم الهرم = 1/3 × 100 × √119 ≈ 364 م³.
• المثال الخامس: ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي طول أحد أضلاع قاعدته 10 م، وطول أحد أضلاع أوجهه المثلثة يساوي 13 م؟
  • الحل: مساحة الهرم الرباعي = ب² + 2 × (ب × ع)، حيث: ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم، وب: أحد أضلاع الأوجه المثلثية.
  • إذا كان ارتفاع الهرم الجانبي غير معروف، يمكن حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس:
    • طول ضلع الوجه الجانبي² = (نصف طول ضلع القاعدة)² + (ارتفاع الهرم الجانبي)²، وبالتالي:
      13² = (5)² + (الارتفاع الجانبي)²، ومن ثم: (الارتفاع الجانبي)² = 144، إذا الارتفاع الجانبي = 12 م.
  • يتم حساب مساحة الهرم الرباعي على النحو التالي:
    • مساحة الهرم الرباعي = ب² + 2 × (ب × ع) = 10² + 2 × (10 × 12) = 340 م².
• المثال السادس: ما هي المساحة الكلية للهرم الثلاثي علماً أن قاعدته عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع طول كل ضلع 6 سم، وأن كل وجه من الأوجه المثلثية طول قاعدته 6 سم، وارتفاعه 10 سم؟
  • الحل: المساحة الكلية = مساحة القاعدة + 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
  • يتم حساب مساحة القاعدة ومحيطها كما يلي:
    • بما أن القاعدة مثلث متساوي الأضلاع، فإن مساحتها تساوي (√3/4) × طول الضلع² = (√3/4) × 6² = 9√3 سم².
    • محيط القاعدة = مجموع أطوال الأضلاع = 6 + 6 + 6 = 18 سم.
  • لذلك، المساحة الكلية = 9√3 + 1/2 × 18 × 10 = 9√3 + 90 سم².
• المثال السابع: هرم ثلاثي مائل وغير منتظم، قاعدته أ ب جـ قائمة الزاوية في جـ، وفيه النقطة د تقع فوق النقطة جـ بحيث يشكل العمود جـ د زاوية قائمة مع الضلعين أجـ وب جـ. جد مساحة الهرم الكلية علماً أن مساحة الوجه د ب أ = 20.9 سم².
  • الحل: مساحة الهرم الكلية = مجموع مساحات أوجهه الأربعة = مساحة المثلث (أ ب جـ) + مساحة المثلث (د جـ ب) + مساحة المثلث (د جـ أ) + مساحة المثلث (د ب أ).
  • تطبيق قانون مساحة المثلث على كل وجه كما يلي:
    • مساحة المثلث (أ ب جـ) = 1/2 × 3 × 4 = 6 سم².
    • مساحة المثلث (د جـ ب) = 1/2 × 4 × 8 = 16 سم².
    • مساحة المثلث (د جـ أ) = 1/2 × 3 × 8 = 12 سم².
  • لذا، المساحة الكلية للهرم = 6 + 16 + 12 + 20.9 = 54.9 سم².