تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية الأساسية

التحليل إلى العوامل الأولية: التعريف والمفاهيم الأساسية

يمكن تعريف الأعداد الأولية (بالإنجليزية: Prime Numbers) بأنها أعداد صحيحة تتجاوز الواحد، ولا يمكن قسمة أي منها إلا على نفسها وعلى الواحد. من الأمثلة على هذه الأعداد: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، و23. وبالتالي، فإن الأعداد الأولية تمتلك عاملين فقط، وهما العدد نفسه والعدد واحد. وفيما يتعلق بالتحليل إلى العوامل الأولية (بالإنجليزية: Prime Factorization)، فإن المقصود هو إيجاد الأعداد الأولية التي إذا تم ضربها معًا تعطي العدد الأصلي الذي نرغب في تحليله، مع تجاهل العدد 1 وعدم اعتباره جزءًا من العوامل الأولية.

من المهم الإشارة إلى أن الأعداد الناتجة من حاصل ضرب أعداد صحيحة تُعرف بالأعداد المركبة (بالإنجليزية: Composite Numbers)، بينما الأعداد التي يتم ضربها للحصول على الأعداد المركبة تُعرف بالعوامل (بالإنجليزية: Factors)، والتي يمكن أن تكون أعدادًا أولية أو غير أولية.

الطريقة التقليدية للتحليل إلى العوامل الأولية

تبدأ الطريقة التقليدية بقسمة العدد المستهدف على أصغر عدد أولي متاح، ثم تستمر العملية بالاستمرار في قسمة الأعداد الأولية المتاحة حتى الوصول إلى العدد الأخير. كمثال توضيحي:

• حلّل العدد 12 إلى عوامله الأولية.
  • نبدأ بقسمة العدد 12 على العدد 2 (لأنه عدد زوجي): 12 ÷ 2 = 6، ويعتبر العدد 2 أول عدد أولي.
  • العدد 6 ليس عددًا أوليًا، لذا نتابع بقسمته على 2: 6 ÷ 2 = 3، حيث أن العدد 3 عدد أولي، ونتوقف هنا. الأعداد الأولية للعدد 12 هي: 2، 3.
  • إذن، يمكن تمثيل التحليل كما يلي: 2 × 2 × 3 = 12.
  • تمثيل العملية كما يلي:

طريقة الشجرة للتحليل إلى العوامل الأولية

تستخدم طريقة الشجرة (بالإنجليزية: Factor Tree) مخططًا لتفكيك الأعداد بهدف الوصول إلى عواملها الأولية. يتم ذلك عن طريق العثور على عددين حاصل ضربهما هو العدد المطلوب، ومن ثم الاستمرار في تجزئة أي عدد غير أولي حتى الحصول على جميع الأعداد الأولية، ويظهر ذلك كالتالي:

• حلّل العدد 24 إلى عوامله الأولية.
  • نبدأ بالبحث عن عددين حاصل ضربهما هو 24 (مثل 2 × 12).
  • العدد 12 عدد غير أولي، ونقوم بتفكيكه إلى (3 × 4).
  • العدد 4 عدد غير أولي أيضًا، لذا نجد (2 × 2). هنا نتوقف، حيث 2 و2 عددان أوليان.
  • إذن، الأعداد الأولية للعدد 24 هي: 3 × 2 × 2 × 2 = 24.
  • يمكن تمثيل ذلك كما يلي: 24 ← 2 × 12 ← 2 × 3 × 4 ← 2 × 3 × 2 × 2.

إرشادات لتحليل العدد إلى عوامله الأولية

فيما يلي بعض الإرشادات التي يمكن أن تساعد في العثور على الأعداد التي يمكن قسمة العدد المطلوب عليها:

• إذا كان العدد زوجيًا، فهو قابل للقسمة على 2 بالتأكيد.
• إذا كانت خانة الآحاد للعدد نهاية بـ(5،0)، فهو يقبل القسمة على 5 بالتأكيد.
• إذا كان مجموع الأرقام المكونة للعدد يقبل القسمة على 3، فإن العدد يقبل القسمة على 3.
• في حال عدم انطباق القواعد السابقة، يجب البحث عن أعداد أولية أكبر مثل 7، 11، 13، وهكذا.

أمثلة عملية حول التحليل إلى العوامل الأولية

نستعرض بعض الأمثلة لاستخدام التحليل إلى العوامل الأولية:

مثال 1: حلّل العدد 35 إلى عوامله الأولية.

• الحل بالطريقة التقليدية:
  • نلاحظ أن النهاية (5) تشير إلى إمكانية القسمة على 5.
  • لذا، نقسم 35 على 5: 35 ÷ 5 = 7، حيث أن 7 عدد أولي.
  • إذن، يمكن تمثيل الأعداد الأولية للعدد 35 كما يلي: 5 × 7 = 35.
  • تمثيل العملية في الجدول كالتالي:

• الحل باستخدام طريقة الشجرة:
  • نجد عددين حاصل ضربهما يساوي 35.
  • ممثلاً كالتالي: 5 × 7 حيث أن كلا العددين عددان أوليان.
  • إذن، الأعداد الأولية للعدد 35 هي: 5 × 7 = 35.
  • التعبير عن العملية سيكون: 35 ← 5 × 7.

مثال 2: حلّل العدد 54 إلى عوامله الأولية.

• الحل بالطريقة التقليدية:
  • العدد 54 عدد زوجي، لذا نبدأ بالقسم على 2.
  • 54 ÷ 2 = 27، والعدد 2 عدد أولي.
  • العدد 27 عدد غير أولي، لذا نقسمه على 3: 27 ÷ 3 = 9.
  • نوصل إلى 9، والذي نوصل على 3: 9 ÷ 3 = 3.
  • ولا ننسى العدد 3 كعدد أولي، لذا نوقف التحليل هنا، الأعداد الأولية للعدد 54 هي: 2 × 3 × 3 × 3 = 54.
  • تمثيل العملية في الجدول كالتالي:

• الحل باستخدام طريقة الشجرة:
  • نجد عددين حاصل ضربهما هو 54 (مثل 3 × 18).
  • العدد 3 عدد أولي، لذا هو أول عدد أولي.
  • العدد 18 عدد غير أولي ونعيد تحليله إلى (2 × 9).
  • نستمر في تحليل 9 إلى 3 × 3 حيث أن كلاهما أولي.
  • إذن، الأعداد الأولية للعدد 54 هي: 3 × 2 × 3 × 3 = 54.
  • يمكن تمثيل العملية على الشكل: 54 ← 3 × 18 ← 3 × 2 × 9 ← 3 × 2 × 3 × 3.

مثال 3: حلّل العدد 360 إلى عوامله الأولية.

• الحل بالطريقة التقليدية:
  • العدد 360 عدد زوجي، لذا نبدأ بالقسم على 2.
  • القسم: 360 ÷ 2 = 180.
  • العدد 180 عدد غير أولي، لذا نقسمه على 2: 180 ÷ 2 = 90.
  • نستمر في 90: 90 ÷ 2 = 45.
  • العدد 45 عدد غير أولي أيضًا، لذا نقسمه على 3: 45 ÷ 3 = 15.
  • وبعد ذلك نحلل 15 على 3: 15 ÷ 3 = 5.
  • العدد 5 عدد أولي، وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 360 هي: 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 360.
  • تمثيل للعملية في الجدول كالتالي:

• الحل باستخدام طريقة الشجرة:
  • نبحث عن عددين حاصل ضربهما يعادل 360 (مثل 5 × 72).
  • العدد 5 عدد أولي، لذا هو أول عدد أولي للعدد 360.
  • العدد 72 عدد غير أولي، نحله إلى (2 × 36).
  • ويستمر الحل: 36 إلى (2 × 18). ثم (2 × 9) وينتهي عند الأعداد الأولية 3 و3.
  • إذن، الأعداد الأولية للعدد 360 هي: 5 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 360.
  • تمثيل العملية يكون: 360 ← 5 × 72 ← 5 × 2 × 36 ← 5 × 2 × 2 × 18 ← 5 × 2 × 2 × 2 × 9 ← 5 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3.

مثال 4: حلّل العدد 509 إلى عوامله الأولية.

• إذا لم نستطع تحديد إن كان العدد 509 أوليًا أم لا، نقوم بالخطوات التالية:
  • نطبق القواعد السابقة للتحقق مما إذا كان العدد غير أولي.
  • إذا لم تتحقق أي قاعدة، نأخذ الجذر التربيعي للعدد، ثم نقسم العدد على الأعداد الأولية الأقل من قيمة الجذر.
  • إذا كان العدد يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من الجذر، فهو عدد غير أولي؛ وإذا لم يقبل، فهو أولي.
• نبدأ بالتحقق مما إذا كان 509 عددًا أوليًا:
  • 509 ليس زوجيًا، ولا ينتهي بالصفر أو الخمسة، ومجموع خاناته يساوي 14 الذي لا يقبل القسمة على 3.
  • نأخذ الجذر التربيعي للعدد 509: √509 = 22.56.
  • نجرب قسمة العدد 509 على الأعداد الأولية التي تقل عن 22.56:
  • 509 ÷ 2 = 254.5، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 3 = 169.66، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 5 = 101.8، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 7 = 72.71، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 11 = 46.27، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 13 = 39.15، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 17 = 29.9، لا يقبل القسمة.
  • 509 ÷ 19 = 26.78، لا يقبل القسمة.
  • لاحظنا أن العدد لم يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من 22.56.
  • وبذلك يكون العدد 509 عددًا أوليًا ولا يمكن تحليله.

الأعداد الأولية هي تلك الأعداد الصحيحة التي تزيد عن الرقم واحد، والتي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الرقم واحد فقط. لذلك، تحتوي الأعداد غير الأولية على عواملها الأولية، بحيث إذا تم ضرب جميع هذه العوامل، فإن الناتج سيكون العدد الأصلي.

يمكن تحليل الأعداد إلى عوامله الأولية بطريقتين: الطريقة التقليدية التي تعتمد على البدء بأصغر عدد أولي يقبل العدد التحليل، وطريقة الشجرة التي تقوم على إيجاد عددين حاصل ضربهما هو العدد المراد تحليله واستمرار التحليل.