تطبيقات المعادلات الخطية في حياتنا اليومية
تُستخدم المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear equations) للتفاعل بين متغير واحد أو أكثر، حيث يعتمد أحد المتغيرات على الآخر. أي كمية غير معروفة يمكن أن تُعبّر عنها من خلال معادلة خطية، وتُكتب المعادلة بصيغتها القياسية كالتالي: ص = ( م × س ).
تُعتبر المعادلات الخطية أداة فعّالة في التطبيقات اليومية، تشمل حساب معدل المسافات للمركبات، إدارة الميزانية، التنبؤ بأرباح المشاريع التجارية، وتقدير التكاليف. فيما يلي بعض الأمثلة العملية التي توضح كيفية استخدام هذه المعادلات مع الأرقام:
حساب معدلات المسافة
عندما يتحرك جسم ما بسرعة ثابتة، تتزايد المسافة التي يقطعها مع مرور الزمن بشكل خطي. يمكن صياغة المعادلة الخاصة بمعدل المسافة المقطوعة بالشكل التالي:
ف = م × ز
حيث أن:
- ف: هي المسافة التي يقطعها الجسم.
- م: هي المعدل الذي يتحرك به الجسم.
- ز: الزمن الذي استُهلك في قطع المسافة.
عند عدم تحرك الجسم، تكون المسافة المقطوعة صفرًا، وتكون نقطة التقاطع على المحور ص تساوي صفر، مما يجعل رسم الخط يبدأ عند النقطة (0، 0) وتمثل ميل الخط (م) معدل التغير.
مثال:
إذا كان شخص يستطيع الركض بسرعة 5 م/ث لمدة 20 ثانية، فيمكن حساب المسافة التي قطعها باستخدام المعادلة الخطية التالية:
الحل:
- ف = م × ز
- ف = 5 × 20
- ف = 100 م، وبالتالي قطع الشخص مسافة 100 متر خلال 20 ثانية.
تقدير التكاليف المتوقعة
يمكن التعبير عن إجمالي التكلفة المتغيرة من خلال المعادلة الرياضية التالية:
ص = م × س
حيث أن:
- ص: إجمالي التكلفة المتوقعة.
- م: تكلفة الوحدة الواحدة.
- س: عدد الوحدات التي نرغب في حساب تكلفتها.
في حال عدم وجود نشاط، تكون التكلفة غير موجودة وتكون النقطة التقاطعية على المحور ص تساوي صفر، مما يعني أن رسم الخط سيبدأ عند النقطة (0، 0) وميل الخط (م) يكون هو معدل التغير.
مثال:
عند قيام تاجر ببيع الحلوى، ليكن ثمن القطعة الواحدة 50 سنتًا، وإذا كان يبيع القطعة مقابل 1 دولار وتمكن من تسويق 200 قطعة، فإن إجمالي التكلفة يُحسَب كما يلي:
الحل:
- ص = م × س حيث أن:
- ص: إجمالي تكلفة الحلوى على التاجر.
- م: تكلفة قطعة الحلوى الواحدة.
- س: عدد قطع الحلوى المعني بحساب تكلفتها.
- ص = 0.5 × 200
- ص = 100 دولار تكلفة الـ 200 قطعة حلوى.
حساب رسوم خدمة معينة
لتقدير الرسوم المستحقة لسيارة الأجرة (التاكسي)، يمكن بناء معادلة خطية من الدرجة الأولى، بافتراض أن س تمثّل المسافة المقطوعة كما يلي:
ص = م × س
حيث أن:
- ص: الرسوم المستحقة لسيارة الأجرة.
- م: التكلفة المفروضة لكل كيلو متر.
- س: المسافة الفعلية المقطوعة.
مثال:
إذا كانت المسافة المراد قطعها 5 كيلو متر، وكان سعر الكيلو متر الواحد 2 دولار، فإن المعادلة الخطية تكون كالتالي:
ص = م × س
ص = 2 × 5 = 10 دولارات تكلفة الرحلة في التاكسي.