ما هي المتباينات؟
تُعرف المتباينات، أو ما يُطلق عليها المتراجحات، بأنها تعبيرات رياضية تقارن بين قيمتين. وتعمل المتباينة على تحديد ما إذا كانت قيمة معينة أكبر من الأخرى، أو أقل، أو غير متساوية معها.
على سبيل المثال، عندما نقول (أ لا تساوي ب)، فإن ذلك يعني أن (أ ≠ ب)، بينما إذا كانت (أ > ب) فهذا يشير إلى أن قيمة أ أكبر من قيمة ب.
أنواع المتباينات
توجد ثلاثة أنواع رئيسية من المتباينات، والتي سنستعرض أهمها فيما يلي:
المتباينات الخطية
في مجال الرياضيات، تُعتبر المتباينات الخطية تقييمًا غير متساوي بين تعبيرين رياضيين أو رقمين. وعادةً ما تتضمن هذه المتباينات تعبيرًا جبريًا خطيًا واحدًا على الأقل. أي أنه يمكن مقارنة كثير الحدود من الدرجة 1 بتعبير جبري آخر تكون درجته أقل من أو تساوي 1. ويمكن التعبير عن المتباينات الخطية بطرق متعددة، وتشمل المعادلات التالية: غير مساوي (≠)، أقل من (<)، أكبر من أو يساوي (≥)، وأقل من أو يساوي (≤).
المتباينات غير الخطية
تشمل المتباينات غير الخطية المعادلات التي تحتوي على مكونات غير خطية، مثل المقاطع المخروطية. تُعَرَّف المعادلة غير الخطية بأنها تلك التي تحتوي على قيمة واحدة على الأقل مرفوعة لقوة 2 أو أكثر، مثل (x^2 + 3x + 2 > 0)، وتنتج هذه المعادلات خطوطًا منحنية تمثلها الرسوم البيانية.
حيث أن كل متباينة غير خطية تحتوي على انحناء واحد على الأقل، فإن أنظمة هذه المتباينات غالبًا ما تحتوي على عدة حلول، مثل المعادلات الخطية. يمكن استخدام نظام التعويض لحل المتباينات غير الخطية التي تحتوي على متغير واحد.
تتشابه الحلول الرياضية لأنظمة المتباينات غير الخطية مع تلك الخاصة بالمتباينات الخطية، لكن يمكن أن تصبح المعادلات غير الخطية غير عملية عند استخدام نظام التعويض، نظرًا لما تحتويه من مصطلحات غير متشابهة، وهذه الحال شائعه في المتباينات غير الخطية.
المتباينات الكسرية
تُعتبر المتباينات الكسرية تلك التي تحتوي على كسور في المعادلات، حيث تحتوي عادةً على دوال (x) في المقام، مثل المعادلة (x^2 + 3x + 2) / (x – 2). لحل مثل هذه المتباينات، يجب ضرب كلا الطرفين بقيم موجبة، فإذا لم يتم ذلك، سيتغير اتجاه المتباينة.
عند إيجاد الحل، يجب علينا تحديد الأصفار في البسط والنقاط غير المعرفة في المقام. يمكن استعمال هذه الأصفار والنقاط لتقسيم محور الأعداد إلى فترات، ومن ثم تحليل إشارة المنطقة في كل فترة.