تمارين محلولة على الأسس في الرياضيات
سنستعرض في ما يلي مجموعة من التمارين المحلولة المتعلقة بالأسس في الرياضيات:
إيجاد قيم الأعداد المرفوعة لأس
مثال: احسب قيمة كل من الأعداد التالية:
- (8-)^2
- (4)^2-
- (3)^0
- (8^4)/ (8^1)
- ((11)^2)^3
الحل:
- (8-)^2 = 8- × 8- = 64
- (4)^2-، نقوم بتطبيق قاعدة الأس السالب: ص^(-ن) = 1/(ص^ن)، وبالتالي الناتج سيكون:
- (4)^2- = 1/ (4)^2 = 1/ (4×4) = 1/ 16
- (3)^0، نقوم بتطبيق قاعدة الأس الصفر: ص^0 = 1، لذا فإن الناتج يساوي: (3)^0 = 1
- (8^4)/ (8^1)، نطبق قاعدة قسمة الأسس: ص^(ن) / ص^(م) = ص^(ن-م)، ويصبح الناتج: (8^4)/ (8^1) = 8^(4-1) = 8^(3) = 512
- ((11)^2)^3، نطبق قاعدة الأس المرفوع لأس آخر: (ص^(ن))^م = ص^(ن×م)، وبالتالي الناتج هو: ((11)^2)^3 = (11)^(2×3) = (11)^(6) = 1,771,561
تبسيط المعادلات الأسية لأبسط صورة
مثال 1: قم بتبسيط المعادلة التالية لأبسط صورة: (س^5 ÷ س^0) × (س^8 ÷ س√) × س^3.
الحل:
- يتم تبسيط كل جزء على حدة كما يلي:
- س^0 = 1
- س√، نطبق قاعدة الجذر التربيعي: ص^(ن/م) = (ص^ن)√م، وبذلك يكون:
- س√ = س^(1/2)
- نستبدل قيمة س^(1/2) في الموجود: (س^8 ÷ س√) بحيث تصبح:
- (س^8 ÷ س^(1/2))، ومن ثم نطبق قاعدة قسمة الأسس:
- ص^(ن) / ص^(م) = ص^(ن-م)، وبالتالي يصبح الحد كالآتي:
- (س^8 ÷ س^(1/2)) = س^(8-1/2) = س^(7.5)
نكتب المعادلة مجددًا مع تعويض الحدود المبسطة كما يلي:
- (س^5 ÷ س^0) × (س^8 ÷ س√) × س^3
- (س^5 ÷ 1) × س^(7.5) × س^3
- س^5 × س^(7.5) × س^3، نطبق قاعدة ضرب الأسس:
- ص^(ن) × ص^(م) = ص^(ن+م)، فتظهر المعادلة كالتالي:
- س^5 × س^(7.5) × س^3 = س^(5+7.5+3) = س^15.5
- وبالتالي فإن أبسط صورة للمعادلة (س^5 ÷ س^0) × (س^8 ÷ س√) × س^3 هي: س^15.5
مثال 2: قم بتبسيط المعادلة التالية لأبسط صورة: (س×3)^6 / (س^1 × 1^9 × (س^2)^2)
الحل:
- يتم تبسيط كل جزء يمكن تبسيطه على النحو الآتي:
- (س×3)^6، نطبق قاعدة رفع حاصل ضرب عددين لأس:
- (ل×ص)^ن = ل^ن×ص^ن، وبالتالي نتيجة: (س×3)^6 = س^6 × 3^6 = س^6 × 729 = 729 س^6.
- س^1، نطبق قاعدة الأس واحد: ص^1 = ص، وبالتالي الناتج: س^1 = س.
- 1^9، نطبق قاعدة العدد واحد: 1^ن = 1، وبالتالي الناتج: 1^9 = 1.
- (س^2)^2، نقوم بتطبيق قاعدة الأس المرفوع لأس آخر:
- (ص^(ن))^م = ص^(ن×م)، وبالتالي يكون: (س^2)^2 = س^(2×2) = س^4.
نكتب المعادلة مجددًا مع تعويض الحدود المبسطة على النحو التالي:
- (س×3)^6 / (س^1 × 1^9 × (س^2)^2)
- 729 × س^6 / (س × 1 × س^4)
- (729 س^6) / (س × س^4)، نطبق قاعدة ضرب الأسس: ص^(ن) × ص^(م) = ص^(ن+م)، وتصبح المعادلة كالتالي:
- (729 س^6) / (س^(1+4))
- (729 س^6) / (س^5)، نطبق قاعدة قسمة الأسس: ص^(ن) / ص^(م) = ص^(ن-م)، لذا يصبح الناتج كالتالي:
- 729 س^(6-5) = 729 س^1 = 729 س
- وبذلك تكون أبسط صورة للمعادلة (س×3)^6 / (س^1 × 1^9 × (س^2)^2) هي: 729 س
إيجاد قيمة (س) المجهولة في المعادلات الأسية
مثال: احسب قيمة س في المعادلة التالية: 16^(س-2) = 32^(3س+1).
الحل:
- لإيجاد قيمة (س)، يجب علينا إعادة كتابة المعادلة لجعل الأساسات متساوية في طرفي المعادلة. فعندما تتساوى الأساسات، تتساوى الأسس أيضًا، وبالتالي يمكن إيجاد قيمة (س) بالحل بعد مساواة الأسس كما يلي:
- نبحث عن عدد عندما يُرفع لأس يكون الناتج يساوي 16، وعندما يُرفع نفس العدد لأس آخر يكون الناتج يساوي 32، وهو العدد 2، حيث 2^4 = 16، و2^5 = 32.
- عند إعادة كتابة المعادلة، تصبح كما يلي:
- (2^4)^(س-2) = (2^5)^(3س+1)
- ومن ثم نبسط المعادلة لأبسط صورة عبر تطبيق قاعدة الأس المرفوع لأس آخر:(ص^(ن))^م = ص^(ن×م) كالتالي:
- (2^4)^(س-2) = 2^(4×(س-2)) = 2^(4س-8).
- (2^5)^(3س+1) = 2^(5×(3س+1)) = 2^(15س+5).
- وبالتالي تصبح المعادلة كالتالي:
- (2^4)^(س-2) = (2^5)^(3س+1)
- 2^(4س-8) = 2^(15س+5)
- نجد أن الأساسات متساوية وتساوي 2، وبالتالي يجب أن تكون الأسس متساوية، وبحل المعادلة يمكن إيجاد قيمة (س) كما يلي:
- 4 س – 8 = 15 س + 5
- 5- + 8- = 15 س – 4 س
- 13- = 11 س
- س = -11/13