حساب حجم المخروط الدوراني باستخدام التكامل
يُشير حساب حجم المخروط الدوراني بالتكامل إلى الجسم الذي يتكون نتيجة دوران شكل معين حول محور. يعتبر هذا الجسم هندسي متجسد في مستوى الشكل الهندسي، على سبيل المثال:
- عند دوران مثلث قائم حول أحد ضلعي القائمة، يتم إنشاء مخروط دائري قائم، حيث يكون الضلع هو محور الدوران.
- بالإضافة إلى تعريف محور الدوران، سواء كان محور السينات أو محور الصادات.
لديك المنحنى ص = د(س)، ويتطلب الأمر حساب الحجم الناتج عن دوران المساحة المحصورة بين المنحنى ورقمين على المحور الأفقي كما يلي:
- س = أ، س = ب حول محور السينات؛ حيث يتم تقسيم المساحة إلى مستطيلات صغيرة.
- يتم حساب الحجم النهائي بجمع أحجام المستطيلات الناتجة عن دوران هذه المستطيلات من خلال اعتبار (ص) هو طول المستطيل و (∆ س) هو عرض المستطيل.
- وبالتالي، فإن حجم الأسطوانة الناتج هو = π × ص² × ∆س.
يمكنك أيضًا الاطلاع على:
قانون حجم المخروط
من الأمور الأساسية التي يجب معرفتها لإيجاد القوانين المتعلقة بحجم المخروط:
- نصف القطر: هو المسافة بين مركز القاعدة الدائرية ومحيطها.
- الارتفاع: هو العمود الممتد من مركز القاعدة الدائرية إلى رأس المخروط، حيث يشكل زاوية قائمة مع القاعدة.
- المائل: يُعرف أيضًا بالارتفاع الجانبي، وهو المسافة بين أي نقطة على محيط القاعدة الدائرية ورأس المخروط.
حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
يمكن التعبير عن ذلك بشكل رمزي على النحو التالي: حجم المخروط = 1/3 × (π × نق²) × ع؛ حيث إن:
- نق: نصف قطر القاعدة.
- ع: ارتفاع المخروط.
- وπ: عدد ثابت، يساوي تقريبًا 3.14 أو 22/7.
ملاحظة: هناك علاقة بين حجم المخروط وحجم الأسطوانة، ومن الممكن تشبيه هذه العلاقة بالعلاقة بين حجم الهرم والمنشور.
عندما يكون ارتفاع المخروط والأسطوانة متساويين، فإن حجم الأسطوانة يكون ثلاث مرات أكبر من حجم المخروط.
قانون حجم المخروط المقطوع والمائل
يتم اعتبار المخروط المقطوع هو المخروط الذي تم قطع جزء من قمته بشكل عمودي على الارتفاع.
يمكن حساب حجم المخروط المقطوع من خلال طرح حجم الجزء المقطوع من المخروط الأكبر، أو باستخدام الصيغة التالية:
- حجم المخروط المقطوع = (1/3 × π × ع × (نق*)² + (نق* × نق) + (نق)²)، حيث:
- نق: نصف قطر القاعدة السفلية للمخروط الناقص.
- نق: نصف قطر القاعدة العلوية للمخروط المقطوع.
- ع: ارتفاع المخروط المقطوع.
أيضًا، نجد أن المخروط الذي لا يقع رأسه على محور واحد مع مركز القاعدة يُطلق عليه المخروط المائل.
يتم حساب حجمه بنفس الطريقة التي يُحسب بها حجم المخروط القائم.
أمثلة على حساب حجم المخروط
المثال الأول
لنفترض أن مخروطًا ارتفاعه 18 سم ونصف قطره 8 سم، فاحسب حجمه.
الحل:
- نصف قطر المخروط = 8 سم.
- ارتفاع المخروط = 18 سم.
عند التعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، نجد أن:
- حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 8² × 18 = 1,205.76 سم³.
المثال الثاني
افترض مخروطًا نصف قطره 12 سم وارتفاعه 14 سم، احسب حجمه.
الحل:
- نصف قطر المخروط = 12 سم.
- ارتفاع المخروط = 14 سم.
بعد التعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، يكون الناتج:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 12² × 14 = 2,111 سم³.
المثال الثالث
مخروط مقطوع له قاعدتين نصفيهما 6 سم و2 سم وارتفاعه 10 سم، احسب حجمه.
الحل:
باستخدام القانون: حجم المخروط المقطوع = 1/3 × π × ع × ((نق*)² + (نق* × نق) + (نق)²)، والتعويض بالقيم، يكون الناتج:
- حجم المخروط المقطوع = 1/3 × 3.14 × 10 × (2² + (2 × 6) + 6²) = 544.54 سم³.
المثال الرابع
احسب حجم مخروط قطره 15 سم وارتفاعه 16 سم.
الحل:
- قطر المخروط = 15 سم، وبالتالي نصف القطر = 15/2 = 7.5 سم.
- ارتفاعه = 16 سم.
عند التعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، نحصل على:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 7.5² × 16 = 942 سم³.
المثال الخامس
افترض أن مخروطًا نصف قطره 24 سم وارتفاعه الجانبي 25 سم، احسب حجمه.
الحل:
- لحساب ارتفاع المخروط من ارتفاعه الجانبي، نستخدم القانون التالي: الارتفاع الجانبي = √(مربع الارتفاع + مربع نصف القطر)؛ وبالتالي: الارتفاع = √(25² – 24²) = 7 سم.
عند التعويض بالقيم المذكورة في قانون حجم المخروط، نحصل على:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 24² × 7 = 4,220.16 سم³.
المثال السادس
إذا كان معدل سقوط الرمل من مخروط علوي إلى آخر سفلي يساوي 50 مم³/ثانية، وارتفاع الرمل في المخروط العلوي يبلغ 24 مم ونصف قطره 10 مم، احسب المدة الزمنية اللازمة لنقل الرمل بالكامل.
الحل:
عند التعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، يمكن حساب حجم الرمل في المخروط العلوي كما يلي:
حجم الرمل في المخروط العلوي = 1/3 × 3.14 × 10² × 24 = 2,512 مم³.
لإيجاد المدة الزمنية اللازمة لنقل الرمل، نقوم بقسمة حجم الرمل على معدل سقوطه. الناتج سيكون: المدة الزمنية اللازمة = 2,512/50 = 50.24 ثانية.
المثال السابع
احسب حجم مخروط مائل قطره 12 م وارتفاعه 15 م.
الحل:
- قطر المخروط = 12 م، وبالتالي نصف القطر = 12/2 = 6 م.
- ارتفاعه = 15 م.
عند التعويض بالقيم المذكورة في قانون حجم المخروط، يكون الناتج:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 6² × 15 = 565.2 م³.
المثال الثامن
إذا كان حجم المخروط 169 سم³ ونصف قطره 4 سم، فما هو ارتفاعه؟
الحل:
عند التعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، نحصل على:
- حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع.
- 169 = 1/3 × 3.14 × 4² × الارتفاع، وبالتالي الارتفاع = 10.1 سم.
المثال التاسع
محيط قاعدة خيمة مخروطية الشكل هو 44 م، احسب كمية الهواء الموجودة داخلها، مع العلم أن ارتفاعها هو 9 م.
الحل:
- كمية الهواء الموجودة داخل الخيمة تعادل حجم الخيمة المخروطية.
- لذا يجب حساب حجم الخيمة باستخدام قانون حجم المخروط.
يجب أولًا حساب نصف قطر القاعدة الدائرية باستخدام قانون محيط الدائرة:
محيط الدائرة = 2 × π × نق، ومنه: 44 = 2 × 3.14 × نق، إذًا نق = 7 م، وهو نصف قطر الخيمة.
ثم بالتعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، نجد:
حجم الخيمة = 1/3 × 3.14 × 7² × 9 = 462 م³، وهو كمية الهواء بداخلها.
المثال العاشر
إذا كان حجم المخروط يساوي 9π وحدة مكعبة، وارتفاعه يساوي نصف قطره، احسب قيمة نصف قطره.
الحل:
افترض أن نصف القطر يساوي س، وهو معطى أيضًا يساوي الارتفاع. عند التعويض بالقيم في قانون حجم المخروط، نجد:
حجم المخروط = 1/3 × π × س² × س = 9π.
بعد تبسيط المعادلة وأخذ الجذر التكعيبي للطرفين، نحصل على:
س = 3 وحدات، وهي قيمة كل من الارتفاع ونصف القطر.
المثال الحادي عشر
يبلغ ارتفاع مخروط كبير الحجم 18 م ونصف قطره 4 م، ويسع لملؤه بالماء بمعدل 3 م³ كل 25 ثانية. احسب المدة الزمنية اللازمة لملء المخروط بالكامل.
الحل:
لإيجاد سعة المخروط من الماء، نبدأ بحساب حجمه باستخدام القانون: حجم المخروط = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع، وبالتالي:
حجم المخروط = 1/3 × 3.14 × 4² × 18 = 301.44 م³.
ثم نستخدم معدل الملء لحساب المدة الزمنية اللازمة لملء المخروط بالكامل: المدة = حجم المخروط / معدل الملء = 301.44 م³ ÷ (3 م³ / 25 ثانية) = 2512 ثانية، بما يعادل 41 دقيقة و53 ثانية.
هنا يمكنك الاطلاع أيضًا على: