تحليل الأشكال الهندسية الثلاثية الأبعاد

كيفية تحليل القوس التكعيبي

يتألف القوس التكعيبي من حدين أو أكثر، ويرتفع للقوة 3، وغالبًا ما يكون بالشكلية التالية: (أ±ب)³. ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يلي: (أ±ب)³ = (أ±ب) × (أ±ب) × (أ±ب). ويتم ذلك عبر اتباع الخطوات التالية:

• ضرب القوسين الأولين باستخدام خاصية التوزيع:
  • (أ+ب) × (أ+ب) = (مربع الحد الأول + 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ+ب) × (أ+ب) = أ² + 2×أ×ب + ب².
  • (أ-ب) × (أ-ب) = (مربع الحد الأول – 2×الحد الأول×الحد الثاني + مربع الحد الثاني): (أ-ب) × (أ-ب) = أ² – 2×أ×ب + ب².
• نضرب نتيجة التحليل السابقة بـ (أ+ب) مرة أخرى لنحصل على: (أ+ب) × (أ² + 2×أ×ب + ب²) = أ³ + 3×أ²×ب + 3×أ×ب² + ب³.
• بناءً على ذلك، يمكن تلخيص القاعدة كما يلي:
  • (أ+ب)³ = (مكعب الحد الأول) + (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) + (مكعب الحد الثاني) = أ³ + (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) + ب³.
  • (أ-ب)³ = (مكعب الحد الأول) – (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) + (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) – (مكعب الحد الثاني) = أ³ – (3×أ²×ب) + (3×أ×ب²) – ب³.

أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

إليك بعض الأمثلة لتوضيح كيفية تحليل القوس التكعيبي:

• المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي التالي: (س+1)³.
  • الحل: من خلال تطبيق القاعدة السابقة، يكون التحليل: س³ + 3س² + 3س + 1.

• المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي التالي: (أ-2ب)³.
  • الحل: عند تطبيق القاعدة المذكورة سابقًا نجد: أ³ – 6أ²ب + 12أ×ب² – 8ب³.

• المثال الثالث: ابسط ما يلي: (س+ص)³ + (س-ص)³.
  • الحل:
    • (س+ص)³ = س³ + (3×س²×ص) + (3×س×ص²) + ص³.
    • (س-ص)³ = س³ – (3×س²×ص) + (3×س×ص²) – ص³.
    • إذن: (س+ص)³ + (س-ص)³ = 2س³ + 6×س×ص².

• المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي التالي: (2س+1)³.
  • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة مسبقًا، يكون التحليل كالتالي:
    • (2س+1)³ = 8س³ + 12س² + 6س + 1.

• المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي التالي: (2س-3ص)³.
  • الحل: من خلال تطبيق القاعدة نجد التحليل كما يلي:
    • (2س-3ص)³ = 8س³ – 36س²ص + 54سص² – 27ص³.

الفرق بين القوس التكعيبي ومكعبين

يتباين تحليل الفرق بين مكعبين (أ³ – ب³) أو تحليل مجموع المكعبات، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)³، حيث يتم تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقًا، بينما تحليل الفرق بين مكعبين ومجموع المكعبين يتم وفق القواعد التالية:

• فتح قوسين: في الأول، يوجد الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحًا منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
• وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني، ثم الحد الأول مضروبًا بالحد الثاني، وأخيرًا مربع الحد الثاني: (أ² + أ×ب + ب²): حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، بينما إشارة الحد الأخير تكون دائماً موجبة، لتكون النتيجة النهائية كالتالي:
  • (أ³ – ب³) = (أ – ب)(أ² + أ×ب + ب²).
  • (أ³ + ب³) = (أ + ب)(أ² – أ×ب + ب²).

• مثال: حلّل ما يلي: (س³ – 8).
  • الحل بتطبيق القاعدة المذكورة: (س – 2)(س² + 2س + 4).

• مثال: حلّل ما يلي: 27ص³ + س³.
  • الحل حسب القاعدة: (3ص + س)(9ص² – 3سص + س²).