تعريف الاستقراء الرياضي
يُعرف الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction) بأنه تقنية رياضية تُستخدم لإثبات النتائج من خلال التحقق من صحة الفرضيات الرياضية، سواء كانت نظرية أو تعبير معين يتعلق بالأعداد الطبيعية، مثل: …. ,n = 0, 1, 2, 3. يعتمد الاستقراء الرياضي على خطوتين رئيسيتين هما:
- إثبات صحة العبارة للقيمة الابتدائية، والتي تُعتبر عادة n = 1.
- إثبات أن العبارة الصحيحة عند استخدام القيمة الابتدائية ستظل صحيحة عند إدخال قيمة طبيعية أخرى، أي n = k+1، حيث تمثل k القيمة التي تم إثبات صحتها في الخطوة الأولى.
فهم الاستقراء الرياضي
يمكن تشبيه الاستقراء الرياضي بعملية سقوط قطع الدومينو؛ حيث إن سقوط القطعة الأولى يؤدي إلى سقوط القطع التالية بداخلها، مما يتسبب بنهاية المطاف في سقوط جميع قطع الدومينو. يحدث هذا التأثير فقط عند سقوط القطعة الأولى، مما يعكس بشكل مثالي مبدأ الاستقراء الرياضي.
أمثلة توضيحية على الاستقراء الرياضي
إليكم بعض الأمثلة التطبيقية على مفهوم الاستقراء الرياضي:
مثال 1: أثبت أن 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 عند القيم …. , 3 , 2, n = 1.
الحل:
- أثبت صحة المعادلة عندما n = 1.
- عند التعويض فيها، نجد أن (2n-1) = n^2.
- 2×1-1 = (1)^2.
- وبالتالي، 1 = 1؛ وهذا صحيح.
- لنفترض أن المعادلة صحيحة عندما n = k.
- 1 + 3 + 5 + .. + (2k-1) = k^2.
- إثبات صحة المعادلة عندما 1+n = k بعد التعويض.
- 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2×(k+1) – 1) = (k + 1)^2.
- بإجراء بعض التعويضات، تصبح المعادلة:
- k^2 + (2×(k + 1) – 1) = (k + 1)^2.
- k^2 + 2k + 2 – 1 = k^2 + 2k + 1.
- إذن، k^2 + 2k + 1 = k^2 + 2k + 1.
- من ثم، مع تساوي كلا طرفي المعادلة، تكون المعادلة صحيحة.
مثال 2: أثبت أن a^n × b^n = (ab)^n لكل الأعداد الطبيعية.
الحل:
- إثبات صحة المعادلة عند n = 1.
- a^1 × b^1 = (ab)^1.
- وبالتالي، ab = ab؛ وهذا مثبت.
- لنفترض أن المعادلة صحيحة عندما n = k.
- a^k × b^k = (ab)^k.
- إثبات صحة المعادلة عندما 1+n = k بعد التعويض.
- (a)^(k+1) × (b)^(k+1) = (ab)^(k+1).
- بإثبات الخطوة الأولى، يمكن استخدام a^k × b^k = (ab)^k لتحضير الحل.
- {a}^k × b^k × (ab) = (ab)^k × (ab)؛ نتيجة لضرب الحدين في (ab).
- ومن ثم، بعد التوزيع: (a)^(k+1) × (b)^(k+1) = (ab)^(k+1)؛ مما يدل على صحة المعادلة بتساوي الحدين.