تعد خواص متوازي الأضلاع من حيث الزوايا جزءًا أساسيًا في علم الهندسة، حيث يُعتبر متوازي الأضلاع شكلًا هندسيًا ثنائي الأبعاد يتكون من أربعة أضلاع مستقيمة تتقاطع في نقاط معينة تُسمى الرؤوس أو الزوايا، ترسم معًا شكلًا هندسيًا مغلقًا.
إن مجموع زوايا متوازي الأضلاع يبلغ 360 درجة. ومن أبرز خصائصه أنه يحتوي على أربع زوايا، وأربعة رؤوس، وأربعة أضلاع.
متوازي الأضلاع
-
يُعرف متوازي الأضلاع بأنه شكل رباعي الأضلاع يتميز بوجود أربعة أضلاع.
- حيث أن كل ضلعين متقابلين إما أن يكونا متطابقين أو متوازيين.
- كما أن لديه أربع زوايا، ومجموع زواياها يصل إلى 360 درجة، تمامًا كما هو الحال في أي شكل رباعي.
-
كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متطابقتان.
- ويتقاطع القطران مع بعضهما في منتصف الشكل، بحيث يقوم كل منهما بنصف الآخر.
- كل قطر يمتد بين الزاويتين المتقابلتين؛ ومن بين خصائص متوازي الأضلاع، أن مجموع زوايا كل ضلع واحد تساوي 180 درجة.
- يمكن أيضاً وصف متوازي الأضلاع بأنه شبيه المعين.
الخصائص المشتركة بين متوازي الأضلاع والأشكال الرباعية
- إن مجموع قياسات زوايا متوازي الأضلاع يساوي 360 درجة.
- محيط متوازي الأضلاع يساوي مجموع أطوال أضلاعه.
- يتكون متوازي الأضلاع من أربعة أضلاع.
- تُحسب مساحة متوازي الأضلاع بحساب حاصل ضرب طول القاعدة في طول الارتفاع الساقط عليها.
خصائص متوازي الأضلاع
- كل زاويتين متقابلتين متساويتان.
- مجموع كل زاويتين متحالفتين (على ضلع واحد) يساوي 180 درجة.
- كل ضلعين متقابلان متساويان.
- كل ضلعين متقابلان متوازيان.
- تساوي مساحة متوازي الأضلاع ضعف مساحة مثلث يشكله ضلعان وقطر.
- كل قطر في متوازي الأضلاع ينصف القطر الآخر.
- يَتقاطع قطرَا متوازي الأضلاع في نقطة تشكل مركز تناظر يُعرف بمركز متوازي الأضلاع.
- أي مستقيم يمر بمركز متوازي الأضلاع يقسم الشكل إلى جزئين متطابقين.
- مجموع مربعات أطوال الأضلاع يساوي مجموع مربعي طولي القطرين، وهو ما يعرف بقانون متوازي الأضلاع.
إذا تحقق في مضلع رباعي محدب أحد هذه الخصائص، فهذا يعني أن الشكل هو متوازي أضلاع. كما أنه يمكن إثبات أن وجود ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين في القياس يكفي لإثبات أن الشكل هو متوازي أضلاع.
حالات خاصة من متوازي الأضلاع
هناك ثلاث حالات خاصة لمتوازي الأضلاع، وهي: المعين، المستطيل، والمربع. فيما يلي توضيح لكل منها:
-
المستطيل:
يُعتبر المستطيل نوعًا من متوازي الأضلاع، ويتمتع بكافة خصائص متوازي الأضلاع.- ومع ذلك، يتميز المستطيل بعدة خصائص إضافية، منها:
جميع زواياه الأربعة هي زوايا قائمة.
وأقطاره متساوية في الطول وتقوم بتنصيف الزوايا.
-
المعين:
يُعرف المعين بأنه شكل رباعي تكون جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول، وكل معين هو متوازي أضلاع.- بالإضافة إلى خصائص متوازي الأضلاع، يتميز المعين أيضًا بعدد من الخصائص الفريدة، وهي:
جميع الأضلاع الأربعة متساوية.
تتعامد أقطاره على بعضها، مما يشكل زاوية قياسها 90 درجة وتقوم أيضًا بتنصيف الزوايا.
-
المربع:
يُعتبر المربع نوعًا من متوازي الأضلاع يحمل جميع خصائص المعين والمستطيل. من بين أهم خصائصه:
- تساوي جميع أطوال أضلاع المربع.
- زوايا المربع الأربعة هي زوايا قائمة، تمامًا مثل المستطيل.
- أقطار المربع متساوية في الطول، كما في المستطيل.
- تتعامد أقطار المربع على بعضها كما في المعين.
- تتطابق أقطار المربع وتقوم بتنصيف الزوايا.
أمثلة على خصائص متوازي الأضلاع من حيث الزوايا
المثال الأول
س/ لديك الشكل الرباعي أ ب جـ د حيث إن قياس الزاوية أ= 3س + 9، وقياس الزاوية ب= 5س + 20، وقياس الزاوية جـ= 3س، وقياس الزاوية د= 2س + 6. فما هو قياس الزاوية د؟
الحل:
- يمكن حل هذه المسألة باستخدام قاعدة أن مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي 360 درجة.
- لذا، يمكننا كتابة المعادلة التالية: 3س + 9 + 5س + 20 + 3س + 2س + 6 = 360.
- وبعد ذلك نحصل على: 13س + 35 = 360.
- من ثم، نحسب: 13س = 325.
- وبالتالي، س = 25.
- إذًا، قياس الزاوية د سيكون: 2 × 25 + 6، والذي يساوي 56 درجة.
المثال الثاني
متوازي أضلاع د هـ و ي، حيث قاعدته “هـ و”، تحتوي على قياسات الزاويتين د = 2س + 12، و هـ = 5س. فما هو قياس الزاوية و؟
الحل:
- يمكننا حل هذه المسألة باستخدام خاصيتين لمتوازي الأضلاع، وهما أن كل زاويتين متحالفتين (تقعان على ضلع واحد) مجموعها يساوي 180 درجة. في هذه الحالة، الزاويتين د و هـ متجاورتان.
-
العلاقة الأخرى هي أن كل زاويتين متقابلتين متساويتان. لذا، نستطيع كتابة المعادلة:
(2س + 12) + (5س) = 180. - وبالتالي نحصل على: 7س + 12 = 180.
- ثم نستنتج: 7س = 168.
- وبذلك، س = 24.
- وبالتالي، قياس الزاوية و يساوي قياس الزاوية د، وهو يساوي 2 × 24 + 12، الناتج هو 60 درجة.
المثال الثالث
متوازي أضلاع أ ب جـ د، حيث قاعدته “ب ج”، ودائماً لدينا قياس الزاوية أ= (س + 15ص) درجة، وقياس الزاوية جـ= 127 درجة، وطول الضلع ب جـ = 54، وطول الضلع أد = س² + 5. فما هي قيمة المتغيرين س و ص؟
الحل:
- يمكننا إيجاد قيمة المتغيرين باستخدام خاصيتين لمتوازي الأضلاع، إحداهما أن كل زاويتين متقابلتين متساويتان. الزاوية أ و جـ متقابلتان، لذا فهي متساويتان. والثانية هي أن كل ضلعين متقابلين متساويين.
-
لنبدأ بإيجاد قيمة س من خلال مساواة طول الضلعين ب جـ وأ د:
س² + 5 = 54 - وبالتالي، س² = 49، مما يعني أن س = 7.
-
وبالطريقة نفسها، لإيجاد قيمة ص:
س + 15ص = 127 -
مع تعويض س = 7:
7 + 15ص = 127 - نتوصل إلى: 15ص = 120، وبالتالي ص = 8.
المثال الرابع
متوازي أضلاع د ع هـ و، حيث قاعدته “ع هـ”، وقياس الزاوية د= 5ص، وقياس الزاوية ع= 115 درجة، وقياس الزاوية هـ= (7 س – 5). فما هي قيمة المتغيرين س و ص؟
الحل:
- دعونا نحل السؤال باستخدام خاصيتين من خصائص متوازي الأضلاع، أن كل زاويتين متحالفتين تكون مجموعها 180 درجة. في هذه الحالة الزوايا د وع زاويتان متحالفتان.
- والزاويتان هـ ود كذلك متحالفتان. والخاصية الأخرى هي أن كل زاويتين متقابلتين متساويتان. لذلك نكتب:
- 5ص + 115 = 180.
- ثم نحصل على: 5ص = 65.
- وبالتالي، ص = 13.
-
الآن دعونا نوجد قيمة س:
115 + (7س – 5) = 180. - وبذلك نحصل على: 7س + 110 = 180.
- فنجد: 7س = 70، مما يعطي س = 10.
تابع أيضًا:
المثال الخامس
في متوازي أضلاع أ ب جـ د، حيث قاعدته “د ج”، إذا كان قياس الزاوية أ = 56 درجة، فما هي قياسات الزوايا الثلاث الأخرى؟
الحل:
يمكننا إيجاد الزوايا الأخرى استنادًا إلى خصائص متوازي الأضلاع.
- يتضح من خصائص متوازي الأضلاع أن كل زاويتين متقابلتين متساويتان. لذا، الزاوية أ وجـ هما زاويتان متقابلتان وبالتالي فإن قياس الزاوية ج أيضاً = 56 درجة.
استنادًا إلى الخصائص، فإن مجموع زوايا أي زوج زوايا متحالفة يساوي 180 درجة. هنا الزاوية د هي زواية متحالفة مع الزاوية أ، لذا يمكننا استخدامها لإيجاد قياسهما كالتالي:
- قياس الزاوية د: 56 + ∠ د = 180.
- من ثم، نجد أن الزاوية (∠) د قياسها = 124 درجة.
- بينما الزاوية ب المقابلة للزاوية د، وبالتالي قياسها أيضًا 124 درجة.