تحليل كثيرات الحدود: فهم المفهوم وأهميته

أساليب تحليل كثيرات الحدود

يعتبر التحليل (بالإنجليزية: Factorization) أداة حيوية في حل المعادلات الجبرية، حيث يشير إلى إمكانية كتابة كثير الحدود كحاصل ضرب كثيري حدود أو أكثر، بحيث تكون درجات هذه العوامل أقل من درجة كثير الحدود الأصلي. يُعرف كل ناتج يتم الحصول عليه من عملية التحليل بالعامل، ومن الجدير بالذكر أن هذه العوامل لا يمكن تحليلها أكثر، ويظل حاصل ضرب جميع العوامل مساويًا دائمًا لكثير الحدود الأصلي.

للاطلاع على مزيد من التفاصيل والأمثلة حول كثيرات الحدود، يمكنكم قراءة المقال التالي: بحث عن كثيرات الحدود.

استخراج العامل المشترك

تعتمد هذه الطريقة في التحليل على استخراج المتغيرات أو الثوابت المشتركة بين جميع الحدود لتكوين حد يسمى العامل المشترك الأكبر. تعتبر هذه الطريقة عادةً الخطوة الأولى في عملية التحليل، ومثال على ذلك ما يلي:

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 15س³ + 5س² – 25س.
  • يظهر أن العامل المشترك الأكبر بين الحدود هو (5س)، لذا يتم قسم جميع الحدود على هذا مقدار لنحصل على: 5س(3س² + س – 5).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: (3ص – 5)(س + 7) – ع(س + 7).
  • يتبين أن العامل المشترك الأكبر هو (س + 7)، لذا نقوم بقسم جميع الحدود على هذا المقدار ليصبح: (س + 7)(3ص – 5 – ع).

التجميع

تستخدم هذه الطريقة عندما يتعذر وجود عامل مشترك بين جميع الحدود، ولكن يوجد بين حدين أو أكثر، ويتم التحليل بتجميع الحدود التي تضم عاملاً مشتركًا، ثم استخراج هذا العامل كما تم شرحه سابقًا، وفقًا لما يلي:

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 2س ص + 3س – 14ص – 21.
  • يمكن ملاحظة أن الحدين (2س ص) و(3س) يشتركان في (س)، والحدين (-14ص) و(-21) يشتركان في (-7)، لذا يمكن إعادة كتابة كثير الحدود بالشكل التالي: س(2ص + 3) – 7(2ص + 3) = (س – 7)(2ص + 3).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: س³ + 3س² + 4س + 12.
  • نلاحظ أن الحدين (3س²) و(س³) يشتركان في (س²) والحدين (4س) و(12) يشتركان في (4)، لذا يمكن إعادة كتابة كثير الحدود كالتالي: س²(س + 3) + 4(س + 3) = (س + 3)(س² + 4).

التعويض

في بعض الحالات، يمكن استبدال بعض الحدود في كثير الحدود بحد أكثر بساطة، مما يسهل عملية التحليل كما يلي:

• حلّل كثير الحدود التالي: (س – ص)(س – ص – 1) – 20.
  • بإبدال القيمة (س – ص) بـ (ع)، يمكن التعبير عن كثير الحدود كما يلي: ع(ع – 1) – 20 = ع² – ع – 20.
  • كثير الحدود (ع² – ع – 20) يمثل عبارة تربيعية يمكن تحليلها باستخدام إحدى طرق التحليل كما يلي: ع² – ع – 20 = (ع + 4)(ع – 5) = (س – ص + 4)(س – ص – 5).

تحليل العبارة التربيعية

يمكن تحليل العبارة التربيعية التي تُعتبر حالة من حالات كثيرات الحدود، والتي تكون على شكل: أ س² + ب س + ج، (حيث أ ≠ 0) بعدة طرق، إحداها كما يلي:

• إذا كانت أ = 1: لتحليل العبارة التربيعية على الشكل: س² + ب س + ج، يجب البحث عن عددين (هـ، ع) حاصل جمعهما يساوي (ب) وحاصل ضربهما يساوي (ج)؛ حيث: هـ + ع = ب، هـ × ع = ج، ثم يمكن كتابتها بالشكل التالي:
  • س² + ب س + ج = (س + هـ)(س + ع).
  • المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: س² + 5س – 6، يتم تحليلها كالتالي:
    • الأعداد التي مجموعها (5) وحاصل ضربهما (-6) هما (+6، -1)، لذا يكون الناتج:
    • س² + 5س – 6 = (س + 6)(س – 1).
  • المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: س² – 4س – 12.
    • الأعداد التي مجموعها (4-) وحاصل ضربهما (12-) هما (6-، 2) لذا يكون الناتج:
    • س² – 4س – 12 = (س – 6)(س + 2).

• إذا كانت أ ≠ 1: لتحليل العبارة التربيعية على الشكل: أ س² + ب س + ج، يمكن كتابتها على الصورة: (د س + ح)(هـ س + ط)؛ حيث يجب أن تحقق: د × هـ = أ، ح × ط = ج، ود × ط + هـ × ح = ب، بافتراض أننا نبدأ بتخمين الأعداد المطلوبة كما هو موضح:
  • المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 2س² – 7س – 15.
    • يمكن تحليل العبارة كالتالي: (2س + 3)(س – 5)؛ حيث إن: 2 × 1 = 2 = أ، 3 × -5 = -15 = ج، و3 × 1 + 2 × -5 = -7 = ب.
  • المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: 2س² + 9س – 5.
    • يمكن تحليل العبارة كالتالي: (2س – 1)(س + 5)؛ حيث إن: 2 × 1 = 2 = أ، 5 × -1 = -5 = ج، و-1 × 1 + 2 × 5 = 9 = ب.
  • المثال الثالث: حلّل كثير الحدود التالي: س³ + 2س² – 3س.
    • باجتزاء س كعامل مشترك، نحصل على: س(س² + 2س – 3)، وعند تحليل S² + 2س – 3 نحصل على: س³ + 2س² – 3س = س(س² + 2س – 3) = س(س + 3)(س – 1).

للاطلاع على مزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل العبارة التربيعية، يمكنك قراءة المقال التالي: تحليل المعادلة التربيعية.

تحليل بعض الصيغ الخاصة لكثيرات الحدود

إليكم بعض الصيغ الخاصة بكثيرات الحدود وطرق تحليلها:

• الفرق بين مربعين: يكون كثير الحدود في الصورة: س² – أ²، ويمكن تحليله على الشكل: س² – أ² = (س + أ)(س – أ).
• الفرق بين مكعبين: يكون كثير الحدود في الصورة: أ³ – ب³، ويمكن تحليله على الشكل: أ³ – ب³ = (أ – ب)(أ² + أ ب + ب²).
• مجموع مكعبين: يكون كثير الحدود في الصورة: أ³ + ب³، ويمكن تحليله على الشكل: أ³ + ب³ = (أ + ب)(أ² – أ ب + ب²).

أمثلة على تحليل كثيرات الحدود باستخدام هذه الطرق تشمل:

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: 27س³ + 8.
  • هذا كثير الحدود يأتي على صورة مجموع مكعبين، لذا يمكن تحليله كالتالي: (3س + 2)(9س² – 6س + 4).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: 20س² – 405.
  • يمكن استخراج (5) كعامل مشترك، ليصبح الشكل على فرق بين مربعين: 5(4س² – 81)، ثم تحليله على الشكل: 5(4س² – 81) = 5(2س + 9)(3س – 9).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مربعين، يمكنكم قراءة المقال التالي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين. لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مكعبين، اقترح قراءة: تحليل الفرق بين مكعبين. كما يمكنكم الاطلاع على كيفية تحليل مجموع مكعبين من خلال مقال: تحليل مجموع مكعبين.

تحليل العبارة التكعيبية أو الدرجات الكبيرة من كثيرات الحدود

يمكن تحليل كثير الحدود ذو الدرجة الثانية أو أكثر عبر تخمين أحد جذوره أو حلولها؛ أي العثور على قيمة للمتغير (س)، لنفترض أنها (أ) تجعل قيمة كثير الحدود مساوية للصفر. يتم ذلك عن طريق استبدال قيم مختلفة مكان (س) حتى تتمكن من العثور عليها. وبالتالي، نفترض أن (س – أ) هو أحد عوامل كثير الحدود، ثم باستخدام القسمة التركيبية على كثير الحدود بالكامل، يمكن العثور على باقي العوامل كما يلي:

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود التالي: س³ – 4س² – 7س + 10.
  • العدد (1) يحقق هذا كثير الحدود؛ أي: (1)³ – 4×(1)² – 7×(1) + 10 = 0، لذا (س – 1) هو أحد عوامله.
  • بقسمة (س³ – 4س² – 7س + 10) على (س – 1) باستخدام القسمة التركيبية، تصبح العوامل: (س – 1)(س² – 3س – 10).
  • وحيث أن س² – 3س – 10 هي عبارة تربيعية، فيمكن تحليلها كما تم ذكره سابقًا لتصبح: س² – 3س – 10 = (س – 5)(س + 2).
  • وبذلك، تكون عوامل س³ – 4س² – 7س + 10 هي: (س – 1)(س – 5)(س + 2).
• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود التالي: س³ – 5س² – 2س + 24.
  • العدد (3) يحقق هذا كثير الحدود؛ أي: (3)³ – 5×(3)² – 2×(3) + 24 = 0، لذا (س – 3) هو أحد عوامله.
  • بقسمة (س³ – 5س² – 2س + 24) على (س – 3) باستخدام القسمة التركيبية، تصبح العوامل: (س – 3)(س² – 2س – 8).
  • وحيث أن س² – 2س – 8 هي عبارة تربيعية، فيمكن تحليلها كما ذُكر سابقًا لتصبح: س² – 2س – 8 = (س – 4)(س + 2).
  • وبذلك، تكون عوامل س³ – 5س² – 2س + 24 هي: (س – 3)(س – 4)(س + 2).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل العبارة التكعيبية والقسمة التركيبية، يمكنكم قراءة المقال التالي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.