تحليل المعادلات التربيعية

طرق تحليل المعادلة التربيعية

يمكن تحليل المعادلة التربيعية التي تأخذ الصيغة العامة: أ س² + ب س + جـ = 0 عبر الطرق التالية:

أسلوب التحليل إلى العوامل

يعتبر أسلوب التحليل إلى العوامل وسيلة يسيرة لتحليل المعادلة التربيعية، شريطة أن يتم اكتشاف عامل مشترك بين الحدود.

خطوات التحليل

يمكن الوصول إلى حل المعادلة التربيعية من خلال تطبيق الخطوات التالية:

الخطوة الأولى: العثور على عددين حاصل ضربهما يساوي أ×جـ ومجموعهما يساوي ب، كما يظهر في المثال التالي:

مثال: 2س² + 7س + 3، نبدأ بإيجاد العددين كما يلي:

حاصل الضرب أ×جـ هو 2×3 وتساوي 6، و ب هي 7.
عوامل العدد 6 هي 1، 2، 3، 6.
العددين هنا هما 1 و6، إذ أن حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 7.

الخطوة الثانية: إعادة كتابة الحد الأوسط باستخدام العددين 1 و6، كما يلي:

2س² + 6س + س + 3.

الخطوة الثالثة: استخراج عامل مشترك من كل حدين، وذلك كما يلي:

من الحدين الأولين: 2س² + 6س تصبح 2س(س + 3).
أما من الحدين الأخيرين: س + 3.
وبذلك يُصبح الشكل: 2س(س + 3) + (س + 3).

الخطوة الرابعة: إذا تم تنفيذ الخطوة الثالثة بنجاح، سنلاحظ وجود عامل مشترك في كلا الحدين، وهو (س + 3)، وبالتالي سيكون ناتج التحليل كالتالي:

2س(س + 3) + 1(س + 3) = (2س + 1)(س + 3).

للتحقق: (2س + 1)(س + 3) = 2س² + 6س + س + 3 = 2س² + 7س + 3؛ وبذلك يكون الحل صحيحًا.

أسلوب إكمال المربع

تتضمن طريقة إكمال المربع إيجاد مربع كامل للمعادلة التربيعية من خلال إضافة قيمة معينة ثم إضافة معكوسها للحفاظ على قيمة المعادلة دون تغيير، مع ترتيب المعادلة التربيعية لتتناسب مع الصيغة العامة وإيجاد حلها.

خطوات التحليل

يمكن حل المعادلة التربيعية من خلال اتباع الخطوات التالية:

محو المعادلة التربيعية بحيث تظهر في الصيغة العامة: أ س² + ب س + جـ = 0.
البحث عن القيمة التي ستضاف لاحقًا لإكمال المربع، وتلك القيمة هي (ب / 2)².
إضافة تلك القيمة ومعكوسها للمعادلة التربيعية كما يلي: أ س² + ب س – (ب / 2)² + (ب / 2)² + ج = 0.
إعادة توظيف المعادلة التربيعية بشكل يجعل “حد المربع الكامل” يتشكل كما يلي: (س + ع)² – ج = 0، حيث أن ع هو العدد الناتج من إضافة المربع الكامل.

أمثلة على تحليل المعادلة التربيعية

إليكم بعض الأمثلة لتوضيح طرق تحليل المعادلة التربيعية:

مثال 1: حل المعادلة التربيعية التالية: س² + 16 = 10س.
- الحل: يمكننا تحليل المعادلة بهذا الشكل:
  - إعادة كتابة المعادلة بالشكل الصحيح كي يصبح الطرف الآخر صفرًا، كالتالي: س² – 10س + 16 = 0.
  - إيجاد العوامل بواسطة أسلوب التحليل إلى العوامل للحصول على (س – 2)(س – 8).
  - تحديد قيم العوامل عن طريق المعادلة إلى صفر: س – 2 = 0، س – 8 = 0.
  - إذاً، قيم العوامل هي س = 2، س = 8.

مثال 2: ناتج تحليل المعادلة التربيعية الآتية: س² + 5س = 0.
- الحل: يتم حل المثال بهذا الشكل:
  - البحث عن عامل مشترك بين الحدود وهو “س”.
  - وبذلك تصبح المعادلة: س (س + 5).
  - وبالتالي، فإن الناتج هو: س (س + 5).

مثال 3: حل المعادلة التربيعية س² + 4 س = 16 بواسطة إكمال المربع.
- الحل:
  - إعادة كتابة المعادلة لتصبح بالصورة العامة: س² + 4 س – 16 = 0.
  - إيجاد القيمة (ب / 2)² = (4 / 2)² = 4.
  - إضافة القيمة ومعكوسها للمعادلة، لذا تصبح: س² + 4 س + 4 – 4 – 16 = 0.
  - بتنظيم المعادلة: (س² + 4 س + 4) – 20 = 0.
  - وبذلك، (س + 2)² = 20.
  - بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، وبدفع 2 للطرف الآخر، نحصل: س = -6.47، س = 2.47.

مثال 4: حل المعادلة التربيعية س² + 6 س – 2 بواسطة إكمال المربع.
- الحل:
  - إعادة كتابة المعادلة بالصورة العامة: س² + 6 س – 2 = 0.
  - إيجاد القيمة (ب / 2)² = (6 / 2)² = 9.
  - إضافة القيمة ومعكوسها إلى المعادلة: س² + 6 س + 9 – 9 – 2 = 0.
  - بتنظيم المعادلة: (س² + 6 س + 9) – 11 = 0.
  - وبذلك: س² + 6 س + 9 = 11.
  - عند تحليل المعادلة نصل إلى (س + 3)² = 11.
  - بأخذ الجذر للطرفين، يصبح لدينا س = (√11) – 3 أو س = -(√11) – 3.

يتاح تحليل المعادلة التربيعية بطرق متنوعة، مثل أسلوب التحليل إلى العوامل السهلة التي يمكن من خلالها إيجاد الجذور بسهولة، أو استخدام أسلوب إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية الأكثر تعقيدًا، والذي يعتمد على إضافة قيمة (ب / 2)² لتشكيل مربع كامل في حل المعادلة وإيجاد الجذور.