كيفية حل المعادلة التربيعية

المعادلة من الدرجة الثانية

عند مناقشة كيفية حل المعادلة من الدرجة الثانية، يجب أن نفهم أن هذه المعادلة تُعتبر معادلة جبرية تحتوي على متغير واحد.
تُعرف أيضاً بالمعادلة التربيعية، حيث تحتوي على الرمز س². وكان البابليون هم أول من حاول حل المعادلات من الدرجة الثانية أثناء سعيهم لتحديد أبعاد مساحات معينة.
فيما بعد، جاء العالم الخوارزمي، المعروف بلقب “أبو الجبر”، إذ قام بتطوير صيغة دقيقة تتوافق مع خصائص المعادلة التربيعية الحديثة في كتابه المعروف باسم “حساب الجبر والمقابلة”.
تُعتبر هذه الطريقة التي ابتكرها واحدة من أكثر الأساليب شمولية في حل المعادلات التربيعية مقارنة بالطريقة البابلية.

لا تفوت قراءة مقالنا حول:

الصيغة العامة لمعادلة الدرجة الثانية

الصيغة العامة التي يتم من خلالها كتابة المعادلة من الدرجة الثانية، أو المعادلة التربيعية هي:

أ س² + ب س + جـ = 0، حيث أن: أ هو معامل س²، بشرط أن يكون أ ≠ 0، وهو ثابت عددي.
يمكن تعريف هذه الصيغة على أنها تحتوي على ثوابت ب وجـ، وقد تساوي هذه القيم الصفر.
وفى معادلة الدرجة الثانية، تظل أعلى قيمة للأس في حدود 2، ولا يمكن أن يساوي معامل أ الصفر مطلقاً.

طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية

توجد عدة طرق لحل المعادلة من الدرجة الثانية، ومن أبرزها:

الطريقة الأولى: الحل باستخدام القانون العام

في هذه الطريقة، يتم استخدام القانون العام، والذي يعتبر من أكثر القوانين شمولية لحل المعادلات التربيعية، بشرط أن يكون مميز المعادلة عددًا موجبًا أو صفر.
مميز المعادلة هو قيمة تحسم عدد جذور المعادلة، ويُكتب القانون العام بشكل: س = (-ب ± √(ب² – 4أجـ)) / (2أ).
يشير الرمز ± إلى وجود حلين محتملين لناتج المعادلة، واللذين يعبران عن الجذور كما يلي:
س₁ = (-ب + √(ب² – 4أجـ)) / (2أ)
س₂ = (-ب – √(ب² – 4أجـ)) / (2أ)
ومع ذلك، يجب التنبه إلى أنه ليس في جميع الحالات يوجد حلان، فقد يوجد حل واحد فقط، أو أحياناً لا توجد حلول إطلاقاً.
في هذه الحالة، يجب التحقق من قيمة المميز المرموز له بالـ Δ، حيث يعتمد قانون المميز على Δ = ب² – 4أجـ.
إذا كانت قيمة المميز موجباً (Δ > 0)، فإن المعادلة لها حلان. أما إذا كانت قيمته صفر (Δ = 0)، فإن المعادلة تحتوى على حل مشترك واحد.
بينما إذا كانت قيمة المميز سالبة (Δ < 0) فلا توجد حلول حقيقية، بل يمكن وجود حلين باستخدام الأعداد المركبة.
بذلك، يُعتبر القانون العام الأكثر شمولية في التعامل مع معادلات الدرجة الثانية مهما كانت صياغتها أو قيمة مميزها.

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام القانون العام

المثال الأول

س² + 4س – 21 = 0.
أولاً، نقوم بتحديد معاملات الحدود: أ = 1، ب = 4، جـ = -21.
ثم نستخدم القانون العام: س = (-4 ± √(16 – 4 * 1 * (-21))) / (2 * 1) فنجد: س = (-4 ± √100) / 2، وبالتالي س = (-4 ± 10) / 2 = -2 ± 5.
وبذلك نجد أن قيم س التي تكون حلًا للمعادلة هي: {3, -7}.

المثال الثاني

س² + 2س + 1 = 0.
نحدد المعاملات: أ = 1، ب = 2، جـ = 1.
يكون المميز = (2)² – 4 * 1 * 1 = 4 – 4 = 0، إذًا هناك حل وحيد لأن قيمة المميز صفر.
بعد تطبيق القانون العام: س = (-2 ± √0) / (2 * 1) = -1.
وبذلك تكون القيمة التي تحقق المعادلة هي: س = {-1}.

المثال الثالث

س² + 4س = 5.
نقوم بتعديل المعادلة إلى صورتها القياسية: س² + 4س – 5 = 0.
ثم نحدد المعاملات: أ = 1، ب = 4، جـ = -5.
باستخدام القانون العام: س = (-4 ± √(16 – 4 * 1 * (-5))) / (2 * 1).
س = (-4 ± √(36)) / 2: س = (-4 ± 6) / 2، وعليه س = (-4 + 6) / 2 = 1 أو س = (-4 – 6) / 2 = -5.
وبذلك تكون القيم التي تحقق المعادلة: {1, -5}.

الطريقة الثانية: الحل عن طريق التحليل إلى العوامل

تُعتبر هذه الطريقة من الطرق السهلة والشائعة في حل المعادلات من الدرجة الثانية.
عند الحل باستخدام هذه الطريقة، يجب كتابة المعادلة في صورتها القياسية: س² + ب س + جـ = 0.
إذا افترضنا أن أ = 1، نقوم بفتح الأقواس وتمثيل المعادلة بشكل حاصل ضرب كما يلي: (س ± )(س ± ).
نحتاج إلى العثور على عددين بحيث مجموعهما يساوي ب وإشارتهم تكون متوافقة، وحاصل ضربهما يساوي جـ، وهو القيمة الثابتة في المعادلة.
إذا كان أ = 1، نستخرج الناتج من حاصل الضرب عن طريق ضرب أ * جـ، ثم نبحث عن عددين يُعطيان ناتج الضرب يساوي قيمة ع، ويكون حاصل جمعهما أيضاً يساوي ب.

طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بطريقة التحليل إلى عوامل

عندما نقوم بحل المعادلة: 4س² + 15 س + 9 = 0.
أولاً، نحدد قيم العوامل: أ = 4، ب = 15، جـ = 9.
نقوم بإيجاد حاصل الضرب: أ * جـ = 4 * 9 = 36.
نبحث عن عددين حاصل ضربهما 36 ومجموعهما يساوي 15، وهما: 12 و3.
لذا تصبح المعادلة: 4س² + 12س + 3س + 9 = 0.
نأخذ العامل المشترك الأكبر في المعادلة: 4س(س + 3) + 3(س + 3).
من هنا نجد أن لدينا قوسين متشابهين: (س + 3)(4س + 3) = 0، وعليه نجد س = -3/4.
يمكننا الاعتماد على الطريقة السابقة واستخدام الطريقة المعروفة إذا كان أ = 1.

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية عن طريق التحليل إلى عوامل

المثال الأول

س² – 3س – 10 = 0.
نقوم بتحليل القوسين والبحث عن عددين حاصل ضربهما = -10، وهو قيمة جـ، ومجموعهما = -3، وهو قيمة ب.
نجد العددين هما -5 و2، ثم نعادل كل قوس بالصفر: (س – 5)(س + 2) = 0.
وبذلك نحصل على قيمتي س: {-2, 5}.

المثال الثاني

س² + 5س + 6 = 0.
نقوم أولاً بتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (س + 3)(س + 2) = 0. بعد ذلك، نعادل كل قوس بالصفر: (س + 2) = 0، (س + 3) = 0.
وبحل المعادلتين، نجد القيم التي تحقق المعادلة هي: {-3, -2}.

المثال الثالث

2س² + 5س = 12.
نبدأ بتعديل المعادلة للصيغة العامة: 2س² + 5س – 12 = 0.
بعدها نقوم بتحليل المعادلة: (2س – 3)(س + 4) = 0.
نعادل كل قوس بالصفر: (2س – 3) = 0 أو (س + 4) = 0.
وبذلك تكون القيم التي تحقق المعادلة هي: {3/2, -4}.

الطريقة الثالثة: الحل باستخدام الجذر التربيعي

هذه الطريقة تعتمد على عدم وجود الحد الأوسط (ب * س).
على سبيل المثال، في المعادلة: س² – 1 = 24، نقوم بنقل الحدود الثابتة للطرف الآخر لتصبح س² = 25.
بعد أخذ الجذر التربيعي لكل من الطرفين، نجد س: {-5, +5} حيث تُستخدم الجذور التربيعية في حالة عدم وجود حد أوسط.

اقرأ المزيد عن:

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الجذر التربيعي

المثال الأول

س² – 4 = 0.
أولًا، نقل الثابت العددي للطرف الآخر: س² = 4.
ثم نأخذ الجذر التربيعي لنحصل على قيم س التي تحقق المعادلة: س = 2 أو س = -2.

المثال الثاني

2س² + 3 = 131.
نبدأ بنقل الثابت 3 للطرف الآخر: 2س² = 131 – 3، وتصبح المعادلة 2س² = 128.
نقسم على معامل س² للطرفين: س² = 64.
ثم نأخذ الجذر التربيعي لنجد قيم س التي تحقق المعادلة: س = -8 أو س = 8.

المثال الثالث

(س – 5)² – 100 = 0.
نقل الثابت العددي للطرف الآخر: (س – 5)² = 100.
ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: (س – 5)²√ = 100√.
وبذلك نحصل على المعادلتين: (س – 5) = 10 أو (س – 5) = -10.
وبحل المعادلتين نجد القيم التي تحقق المعادلة هي: {15, -5}.

الطريقة الرابعة: إكمال المربع

تعتمد هذه الطريقة على كتابة المعادلة بشكل مربع كامل.

مثلاً، في حل المعادلة س² – 10س = 21، نتبع الخطوات التالية:
نبدأ بإيجاد قيمة 2(2/ب) بناءً على المعادلة السابقة، حيث 2(2/ -10) = 25.
بعد إضافة الرقم 25 إلى كلا الطرفين، تصبح المعادلة س² – 10س + 25 = 21 + 25، وبالتالي تصبح الطرف الأيسر مربع كامل.
نحلل الطرف الأيمن للحصول على مربع كامل: (س – 5)² = 4.
ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لنحصل على ناتجين: س – 5 = ±2.
وبذلك نجد قيم س = {7, 3}.

أمثلة لحل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام إكمال المربع

المثال الأول

س² + 4س + 1 = 0.
نبدأ بنقل الثابت للأيسر: س² + 4س = -1.
ثم نكمل المربع على الطرف الأيمن بإضافة ناتج العدد (2/ب)² = (4/2)² = 4.
بعد ذلك نضيف الناتج 4 للطرفين: س² + 4س + 4 = -1 + 4، ليصبح س² + 4س + 4 = 3.
نكتب الطرف الأيمن على شكل مربع كامل: (س + 2)² = 3.
ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لنحصل على معادلتين: س + 2 = ±√3.
وبحل المعادلتين نجد قيم س التي تحقق المعادلة هي: {√3 – 2, -√3 – 2}.

المثال الثاني

5س² – 4س – 2 = 0.
نقسم جميع الحدود على 5 (معامل س²): س² – 0.8س – 0.4 = 0.
نقوم بنقل الثابت إلى الطرف الأيسر: س² – 0.8س = 0.4.
ثم نطبق قاعدة 2(2/ب) = 2(0.8/2) = 0.16.
نقوم بإضافة الناتج 0.16 للطرفين لتصبح المعادلة على الشكل التالي:
س² – 0.8س + 0.16 = 0.4 + 0.16.
نكتب الطرف الأيمن على شكل مربع: (س – 0.4)² = 0.56.
وبعد أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج معادلتين: س – 0.4 = ±√0.56.
وبحل المعادلتين، نجد القيم التي تحقق المعادلة هي: {-0.348, 1.148}.

المثال الثالث

س² + 8س + 2 = 22.
نقوم بنقل الثابت للأيسر: س² + 8س = 22 – 2، لذا تصبح المعادلة: س² + 8س = 20.
عند تطبيق قاعدة 2(2/ب) = 2(8/2) = 16.
نضيف الناتج 16 للطرفين: س² + 8س + 16 = 20 + 16.
نكتب الطرف الأيمن على شكل مربع: (س + 4)² = 36.
ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لينتج معادلتين: س + 4 = ±6.
وبذلك نجد قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-2, 10}.