مفهوم المخروط وأبعاده

تعريف المخروط

المخروط (بالإنجليزية: Cone) هو شكل ثلاثي الأبعاد مشهور، يتكون عادةً من قاعدة دائرية مسطحة، ثم يتسع نحو الأعلى لينتهي برأس المخروط (بالإنجليزية: Apex). عند تحليل شكل المخروط، نلاحظ أن الرأس مرتبط بخطوط مستقيمة تمتد من كل نقطة على محيط القاعدة. يجدر بالذكر أن بعض الأشخاص يخلطون بين المخروط والهرم، لكن الفارق الرئيسي يكمن في أن المقطع العرضي للمخروط دائري، بينما المقطع العرضي للهرم يكون غالبًا مثلث الشكل.

أنواع المخروط

هناك عدة تصنيفات للمخروط، نوضحها فيما يلي:

• المخروط الدائري القائم: (بالإنجليزية: Right Cone) هو ذلك المخروط الذي يكون رأسه مباشرة فوق مركز قاعدته، ويتكون من قاعدة دائرية ومحور عمودي يربط بين الرأس ومركز القاعدة، مما يجعل هذا المحور يشكل زاوية قائمة مع القاعدة.
• المخروط المائل: (بالإنجليزية: Oblique Cone) هو المخروط الذي لا يقع رأسه فوق مركز القاعدة، بل يكون مائلًا، مما يجعل المحور لا يشكل زاوية قائمة مع القاعدة.

ملاحظات: يمكن استخدام قوانين حساب حجم المخروط الدائري القائم لتبادلها مع حجم المخروط المائل، إلا أنه لا يمكن تطبيق قوانين مساحة القائم لحساب مساحة المائل.

خصائص المخروط

يمتاز المخروط بالخصائص التالية:

• يحتوي المخروط على رأس واحد ووجه واحد هو القاعدة الدائرية، ولا يمتلك حواف أو زوايا.
• يمكن حساب عرض المخروط من خلال قطر قاعدته الدائرية.
• يمكن التعبير عن أبعاد المخروط باستخدام ثلاثة عناصر:
• الارتفاع: (بالإنجليزية: Altitude) وهو العمود العمودي الذي يصل بين رأس المخروط ومركز القاعدة.
• نصف القطر: (بالإنجليزية: Radius) وهو نصف قطر القاعدة الدائرية.
• المائل: (بالإنجليزية: Slant Height) هو المسافة بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة مرورا بجانب المخروط.

صيغ حساب المخروط

يمكن حساب المساحة والحجم للمخروط باستخدام الصيغ التالية:

مساحة المخروط

يمكن حساب مساحة المخروط الدائري القائم من خلال مجموع مساحة القاعدة ومساحته الجانبية كما يلي:

• مساحة المخروط = مساحة القاعدة + المساحة الجانبية، ومن ثم:
• مساحة المخروط = π×نق² + π×نق×ل، وعند إخراج (π×نق) كعامل مشترك نحصل على:
• مساحة المخروط = π×نق×(ل + نق)، حيث:
  • π: الثابت باي، قيمته 3.14، أو 22/7.
  • نق: نصف قطر قاعدة المخروط الدائرية.
  • ل: الارتفاع الجانبي بالمخروط القائم، وهو المسافة بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط القاعدة، ويمكن إيجاده باستخدام نظرية فيثاغورس، حيث يشكل ارتفاع المخروط مثلثًا قائم الزاوية أضلاعه هي نصف قطر القاعدة والارتفاع، أما الوتر فهو الارتفاع الجانبي، وبالتالي:
    • الارتفاع الجانبي (ل) = √(نق² + ع²).

حجم المخروط

يتم حساب حجم المخروط باستخدام العلاقة التالية:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع؛ حيث:
  • نق: هو نصف قطر القاعدة الدائرية.
  • ع: هي المسافة العمودية بين رأس المخروط ومركز القاعدة.
  • π: الثابت باي، قيمته 3.14، أو 22/7.

تعريف المخروط الناقص

المخروط الناقص (بالإنجليزية: Truncated Cone) هو الشكل الناتج من قطع الجزء العلوي من المخروط بشكل موازٍ للقاعدة، مما يؤدي إلى إزالة رأس المخروط. يمكن وصف هذا الشكل من خلال الأبعاد التالية:

• الارتفاع: (بالإنجليزية: Height) وهو المسافة العمودية بين منتصف كل من القاعدة العلوية والسفلية الناتجة عن القطع.
• نصف القطر: (بالإنجليزية: Radius) ويمثل نصف قطر كل من القاعدة العلوية والسفلية، وغالبًا ما يختلف كلاهما.
• الارتفاع الجانبي: (بالإنجليزية: Slant Height) وهو أقصر مسافة ممكنة بين محيط القاعدتين العلوية والسفلية.

صيغ المخروط الناقص

وفيما يلي بعض الصيغ الخاصة بالمخروط الناقص:

• الارتفاع الجانبي (ل): يمكن حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس:
  • ل² = ع² + (نق1 – نق2)²، وبالتالي: ل = √(ع² + (نق1 – نق2)²).
• المساحة الجانبية للمخروط الناقص:
  • المساحة الجانبية = π×(نق1 + نق2)×ل.
• مساحة المخروط الناقص:
  • المساحة الكلية = π×(ل×(نق1 + نق2) + (نق1)² + (نق2)²).
• حجم المخروط الناقص:
  • الحجم = (1/3)×π×ع×((نق1)² + (نق2)² + (نق1×نق2))؛ حيث:
    • نق1: نصف قطر القاعدة السفلية.
    • نق2: نصف قطر القاعدة العلوية.
    • ل: الارتفاع الجانبي للمخروط الناقص.
    • π: الثابت باي، قيمته 3.14، أو 22/7.
    • ع: ارتفاع المخروط الناقص.

أمثلة توضيحية حول المخروط

فيما يلي بعض الأمثلة التوضيحية حول المخروط:

• مثال 1: إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856 سم³، وقطر قاعدته (ق) هو 28 سم، فما هو ارتفاعه (ع)، وارتفاعه الجانبي (ل)، ومساحته الجانبية؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، وعليه يمكن حساب الارتفاع كما يلي:
  • بما أن القطر = 28سم، فإن نصف القطر (نق) = القطر/2 = 14 سم.
  • باستخدام قانون الحجم، نجد:
  • 9856 = (1/3)×22/7×(14²)×ع، وعليه:
  • الارتفاع = (9856×3×7)/(22×14×14)، وبالتالي: الارتفاع = 48 سم.
• لحساب الارتفاع الجانبي = √(نق² + ع²):
  • ل = √(14² + 48²) = 50 سم.
• المساحة الجانبية = π×نق×ل:
  • المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50 = 2200 سم².

• مثال 2: مخروط ناقص بقطر قاعدته العلوية 2 سم، وقطر قاعدته السفلية 6 سم، وارتفاعه 10 سم، ما هي قيمة كل من: مساحته الجانبية، ومساحته الكلية، وحجمه؟

الحل:

لحساب المساحة الجانبية والكلية يجب أولًا حساب الارتفاع الجانبي (ل) كما يلي:

• الارتفاع الجانبي كما يلي:
  • ل= √(ع² + (نق1 – نق2)²) = √(10² + (6 – 2)²) = 10.77 سم.
• حساب المساحة الجانبية للمخروط الناقص:
  • المساحة الجانبية للمخروط الناقص = π×(نق1 + نق2)×ل، ومن ثم:
  • المساحة الجانبية = 3.14×(6+2)×10.77 = 270.69 سم².
• المساحة الكلية:
  • المساحة الكلية = المساحة الجانبية + π×(نق1)² + π×(نق2)²، وبالتالي:
    المساحة الكلية = 270.69 + (3.14×6² + 3.14×2²) = 396.35 سم².
• حجم المخروط الناقص:
  • حجم المخروط = (1/3)×π×ع×((نق1)² + (نق2)² + (نق1×نق2))، وبالتالي:
    حجم المخروط = (1/3)×3.14×10×(6² + 2² + (6×2)) = 544 سم³.

• مثال 3: ما هي المساحة الكلية للمخروط الدائري الذي نصف قطر قاعدته هو 6 سم، وارتفاعه الجانبي (ل) هو 10 سم؟

الحل:

• المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، وعليه:
• المساحة الكلية = π×نق×(ل + نق) = 3.14×6×(10 + 6) = 301.59 سم².

• مثال 4: ما هو حجم المخروط الذي ارتفاعه هو 15 م، ونصف قطره يساوي 8 م؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي:
• حجم المخروط = (1/3)×3.14×(8²)×15 = 1005 م³.

• مثال 5: ما هو حجم المخروط القائم الذي قطره 6 سم، وارتفاعه 5 سم؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×مساحة القاعدة×ع، ويساوي (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي:
• حجم المخروط = (1/3)×3.14×(3²)×5، حيث نصف القطر يساوي القطر/2، ومن ثم:
• حجم المخروط = 47.1 سم³.

• مثال 6: مخروط دائري نصف قطره هو 4 م، وارتفاعه هو 18 م، يراد تعبئته بالماء، فما هو الوقت الذي سيحتاجه حتى يمتلئ المخروط بالكامل، مع العلم بأن الماء يملأ المخروط بمعدل 3 م³ لكل 25 ثانية؟

الحل:

• كمية الماء التي تملأ المخروط بالكامل = حجم المخروط، والذي يساوي (1/3)×π×نق²×ع، وبالتالي حجم المخروط هو:
  • حجم المخروط = (1/3)×3.14×(4²)×18 = 301.44 م³، وهذه هي كمية الماء اللازمة لملئه بالكامل.
• الوقت اللازم لتعبئة المخروط = حجم المخروط/معدل تعبئته = 301.44 م³/(3 م³/25 ثانية)، وبالتالي:
  • الوقت المطلوب لملء المخروط = 2512 ثانية، أي ما يعادل 41.9 دقيقة.

• مثال 7: إذا كانت المساحة الجانبية لمخروط دائري تساوي ضعف مساحة القاعدة، فما هي المساحة الكلية للمخروط علمًا أن ارتفاعه هو 9 سم؟

الحل:

• المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(ل + نق)، ولحساب (ل) يجب اتباع الخطوات التالية:
  • المساحة الجانبية = 2×مساحة القاعدة، وفقًا للمعطيات، وبالتالي:
  • π×نق×ل = 2×π×نق²، وبقسمة الطرفين على (π×نق)، نحصل على: ل = 2×نق.
  • ارتفاع المخروط يشكل مثلثًا قائمًا، حيث الوتر هو الارتفاع الجانبي (ل)، ونصف القطر (نق) والارتفاع (ع) هما ضلعا القائمة. يمكن حسابه كما يلي:
  • نق² + ع² = ل²، حيث ع = 9، ول = 2نق، وبذلك نجد 81 = 4نق²، وبقسمة الأطراف على 3، نستنتج: نق² = 27، وبالتالي نق = √27 سم، ول = 2×√27 سم.
• عند التعويض في القانون: المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(ل + نق) = 3.14×√27×(√27 + 2√27) = 254.34 سم².

• مثال 8: إذا كانت المساحة الكلية لمخروط دائري 24π سم²، ونصف قطره هو 3 سم، فما هو ارتفاعه (ع)؟

الحل:

• المساحة الكلية = المساحة القاعدة + المساحة الجانبية = π×نق×(ل + نق)، وبالتالي:
  • 24π = (3 + ل)×3×π، وبقسمة الطرفين على π×3، نحصل على:
  • 8 = ل + 3، ولذلك ل = 5 سم.
• الآن نعود إلى قانون الارتفاع الجانبي (ل) = √(نق² + ع²):
  • 5 = √(3² + ع²)، وعند تربيع الطرفين نحصل على 25 = 9 + ع²، وبطرح 9 من الطرفين نحصل على 16 = ع²، وبالتالي فإن الارتفاع = 4 سم.

• مثال 9: مخروطان، قطر الأول 6 سم، وارتفاعه 10 سم، وقطر الثاني 3 سم وارتفاعه 8 سم، إذا تم تعبئة المخروط الصغير بالرمل ثم تفريغ الرمل داخل المخروط الكبير، فما هو لكمية الحجم المتبقية داخل المخروط الكبير؟

الحل:

• حجم الرمل داخل المخروط يعادل حجم المخروط عند ملئه بالكامل، يمكن حساب حجم المخروطين الكبير والصغير باستخدام نفس الصيغة: حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع:
• حجم المخروط الكبير = (1/3)×π×3²×10؛ حيث أن نصف القطر = القطر/2، وبالتالي:
• حجم المخروط الكبير = 30π سم³.
• حجم المخروط الصغير = (1/3)×π×(1.5²)×8، ويساوي 6π سم³، وهي كمية الرمل الموجودة لدينا.
• حجم الفراغ المتبقي داخل المخروط الكبير = حجم المخروط الكبير – حجم المخروط الصغير = 30π – 6π، وبالتالي الحجم المتبقي هو 24π سم³.

• مثال 10: مخروط دائري قائم ارتفاعه 5 سم، ونصف قطره يساوي مرتين ارتفاعه، فما هو حجمه؟

الحل:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ولحسابه يجب إيجاد قيمة نق كما يلي:
  • نصف القطر = 2×الارتفاع = 2×5 = 10 سم.
• بالتعويض في القانون نجد حجم المخروط = (1/3)×3.14×(5)×(10²) = 523 سم³.

• مثال 11: مخروط دائري مائل قطره هو 12 سم، وارتفاعه هو 15 سم، فما هو حجمه؟

الحل:

كما تم الإشارة سابقًا، فإن قانون حجم المخروط المائل هو نفسه قانون حجم المخروط القائم، وبالتالي يمكن إيجاد الحجم كما يلي:

• حجم المخروط = (1/3)×π×نق²×ع، ولحساب الحجم نحتاج إلى نصف القطر، ونصف القطر = القطر/2، وبالتالي يساوي 6 سم.
• بالتعويض في القانون: حجم المخروط المائل = (1/3)×3.14×(6²)×15 = 565.2 سم³.