بحث حول خصائص التشابه في المثلثات

مفهوم تشابه المثلثات

تشابه المثلثات (بالإنجليزية: Triangle similarity) هو العلاقة التي تربط المثلثات حيث تكون الزوايا المقابلة في كلا المثلثين متساوية، كما تكون الأضلاع متناسبة. ويختلف ذلك عن تطابق المثلثات (بالإنجليزية: Congruence) حيث يجب أن تكون أطوال الأضلاع متساوية وزواياهم متطابقة.

يشير تشابه المثلثات إلى أن للمثلثات الشكل نفسه ولكن بأطوال أضلاع مختلفة. كما سبق ذكره، فإن أطوال الأضلاع في المثلثات المتشابهة تكون متناسبة. على سبيل المثال، إذا كان المثلث (أب ج) يشابه المثلث (دهـ و)، يمكن التعبير عن هذا بالشكل التالي: (أب/دهـ)=(أج/دو)=(ب ج/هـ و). يمكن تلخيص ما سبق كما يلي:

التطابق: يعني أن المثلثين لهما نفس الشكل والحجم، ويُرمز له بالرمز (≅).
التشابه: يعني أن المثلثين لهما الشكل نفسه فقط، ويُرمز له بالرمز (∽).

مواقف تشابه المثلثات

تتواجد تشابه المثلثات في الحالات التالية:

تطابق الزوايا (AA)

يتشابه مثلثان إذا كانت زاويتان متناظرتان فيهما متساويتين (زاويتان).

تناسب جميع الأضلاع (SSS)

يتشابه مثلثان إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة (ضلع، ضلع، ضلع). في حال كانت الأضلاع الثلاثة للمثلثين متساوية، فإنهما متطابقان، وليس فقط متشابهين.

ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS)

يتشابه مثلثان إذا كانت واحدة من زوايا المثلث متساوية مع زاوية في مثلث آخر، وكانت أطوال الضلعين الذي يحتويان هذه الزاوية تناسبية (ضلع، زاوية، ضلع). على سبيل المثال، يتشابه المثلث (أب ج) مع المثلث (دهـ و) في حال كانت إحدى الزوايا المتقابلة متساوية مثل: (أ = د)، وكانت أطوال الأضلاع المتقابلة التي تضم هذه الزوايا متناسبة (أب/دهـ = أج/دو)، مما يؤدي إلى تحقق تساوي جميع الزوايا المتناظرة وتناسب أطوال جميع الجوانب المتبقية.

حالات أخرى لتشابه المثلثات

هنالك حالات خاصة قد تتضمن تناسب ضلعين من أحد المثلثات مع ضلعين مقابلهما من مثلث آخر، مع تساوي قياس زاوية فيه (غير محصورة بين الضلعين المتناسبين) مع زاوية أخرى في مثلث مختلف، وهو ما يُعرف بـ: (ضلع، ضلع، زاوية) أو (زاوية، ضلع، ضلع). على الرغم من أنها لا تثبت التشابه على نحو قياسي، إلا أنها قد تثبت تشابه المثلثات في بعض الحالات الخاصة كالمثلثات القائمة.

حالات تشابه المثلثات القائمة

بالإضافة إلى ما سبق، تتشابه المثلثات القائمة في الحالات التالية:

تشابه الزاوية الحادة: عند تطابق زاوية حادة من مثلث قائم مع زاوية حادة أخرى من مثلث قائم آخر، فإن المثلثين سيكونان متشابهين وفقاً لحالة التشابه (زاوية، زاوية).
تشابه الساقين: إذا كانت أطوال السيقان المتقابلة في مثلثين قائمي الزاوية متناسبة، فإن المثلثين متشابهان وفقاً لحالة التشابه (ضلع، زاوية، ضلع).
تشابه الوتر والساق: إذا كانت النسبة بين أطوال الوترين تساوي النسبة بين أطوال إحدى الساقين في مثلثين قائمي الزاوية، فإن المثلثين سيكونان متشابهين.

بعض النظريات المتعلقة بتشابه المثلثات

من النظريات المرتبطة بتشابه المثلثات ما يلي:

إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث وقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما إلى أجزاء متناسبة، وبالتالي يكون المثلث الناتج مشابهاً للمثلث الأصلي.
إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين مساحتي المثلثين تتناسب مع مربع النسبة بين الضلعين؛ على سبيل المثال، إذا كان المثلث (أب ج) والمثلث (دهـ و) متشابهين، فإن: (مساحة ∆أب ج/ مساحة ∆دهـ و)=(أب/دهـ)²=(ب ج/هـ و)²=(أج/دو)²، حيث أن مساحة المثلث تعبر عن: ½ × طول القاعدة × الارتفاع، ويمكن توضيح هذه النظرية بتطبيق عملي كما يلي:
- إذا كان المثلثين ∆أب ج و ∆أدهـ متشابهين، حيث أد=5سم، دب=10سم، ب ج=20سم، فما هي النسبة بين مساحة كل من المثلثين ∆أب ج و ∆أدهـ؟
- نظرًا لأن الزاوية دأهـ مشتركة بين المثلثين، والزاويتين أدهـ و أب ج هما زوايا متناظرة، فإن المثلثين متشابهان (∆أب ج ∽ ∆أدهـ) بناءً على حالة التشابه بالزوايا (زاوية، زاوية).
- التعويض في المعادلة: (مساحة ∆أب ج/ مساحة ∆أدهـ)=(أب/أد)²=((5+10)/5)²=(3)²=9.

أمثلة على تشابه المثلثات

يمكن أن تختلف المثلثات المتشابهة في المساحة، حيث الفكرة من التشابه تكمن في الشكل فقط والتناسب بين الأضلاع. فيما يلي بعض الأمثلة لتوضيح ذلك:

مثال 1: إذا عُلم أن المثلث (أ ب ج) يشابه المثلث (هـ و د)، تحقق من تطابق المثلثين إذا كانت أطوال الأضلاع كما يلي: أب= 5 سم، ب ج= 3 سم، ج أ= 2 سم، هـ و= 5 سم، ود= 3 سم، دهـ= 2 سم.

الحل:

حساب النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثين.
5/5= 1، 3/3= 1، 2/2= 1.
بما أن النسبة بين جميع الأضلاع المتناظرة تعادل 1، يمكن القول بأن المثلثين متطابقان.

مثال 2: إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ما هي 8 سم، 10 سم، 6 سم، وكانت أطوال أضلاع مثلث آخر 4 سم، 5 سم، 8 سم، فهل يمكن القول بأنهما متشابهان؟

الحل:

حساب النسبة بين أطوال الأضلاع في المثلثين.
8/4= 2، 10/5= 2، 8/6= 4/3.
بما أن النسبة بين الأضلاع غير متساوية، فإن المثلثين غير متشابهين.

مثال 3: إذا كانت زوايا مثلث ما بالدرجات هي (98، 44)، وكان قياس زوايا مثلث آخر (38، 98)، فهل يمكن القول بأن المثلثين متشابهان؟

الحل:

الزاوية 98 تعتبر زاوية متطابقة بين المثلثين، مما يتيح إمكانية إثبات تشابهها من خلال زاوية أخرى متطابقة.
حساب الزاوية الثالثة للمثلث الأول، 180 – (98 + 44)= 38، حيث إن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
وبذلك، تكون الزاوية 38 هي زاوية أخرى متطابقة بين المثلثين، مما يكفي للقول بأنهما متشابهان.

مثال 4: إذا كانت أطوال ضلعين في مثلث ما (5 سم، 4 سم) وكان قياس الزاوية المحصورة بينهما 30 درجة، وطول الوتر في مثلث قائم الزاوية هو 10 سم، وطول ضلع آخر هو 8 سم، وكان قياس الزاوية مقابل لهذا الضلع 8 سم هو 60 درجة، فأثبت أن المثلثين متشابهان.

الحل:

بما أن إحدى زوايا المثلث القائم تساوي 30 درجة، يمكن حساب زوايا المثلث الأخرى (180 – (60 + 90) = 30 درجة).
الزاوية 30 هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (8 سم، الوتر 10 سم)، ويمكن التحقق من ذلك بالرسم.
النسبة بين الأضلاع المتناظرة في المثلثات كالتالي: 10/5= 2، 8/4= 2، وبالتالي يمكن القول بأن الضلعين المتناظرين متناسبين.
يمكن ملاحظة تطابق الزاوية المحصورة بين الضلعين المتناظرين، حيث قياسها 30 في كل منهما.
إذاً، فالمثلثان متشابهان بتناسب ضلعين وزاوية محصورة بينهما.

مثال 5: إذا كان قياس إحدى زوايا مثلث قائم الزاوية يساوي 40 درجة، وتم إيجاد مثلث قائم آخر فيه زاوية حادة بنفس القياس 40 درجة، ما العلاقة بين المثلثين؟

الحل:

بما أن المثلثين قائمان، يكفي أن توجد زاوية حادة واحدة متساوية في القياس في كليهما، وبالتالي يكون المثلثان متشابهين.

مثال 6: إذا كان طول ساقي مثلث قائم الزاوية 12 سم و5 سم، وتم إيجاد مثلث قائم آخر فيه طول الساقين 6 سم و8 سم، هل المثلثين متشابهين؟

الحل:

يكفي أن تكون النسبة بين طولي الساقين في المثلثات القائمة متساوية للقول بأنهما متشابهان.
12/6= 2، 5/8= 0.625.
2 ≠ 0.625، وبالتالي فإن المثلثين غير متشابهين.

مثال 7: إذا كان قياس زاويتين في مثلث ما (50، 70) درجة، وتم إيجاد مثلث آخر فيه قياس زاويتين (60، 70) درجة، كيف يمكن التحقق من تشابههما؟

الحل:

الزاوية 70 تعتبر متطابقة في المثلثين، ومن ثم يمكن إثبات التشابه من خلال إيجاد زاوية أخرى متطابقة.
في المثلث الأول، قياس الزاوية الأخيرة = 180 – (50 + 70) = 60 درجة.
وبذلك، يكون المثلثان متشابهين بتساوي قياس زاويتين هما: 70 و60.

مثال 8: إذا كانت أطوال ضلعين في مثلث ما 15 سم و21 سم، وكانت الزاوية بينهما 75 درجة، وكانت أطوال أضلاع مثلث آخر 10 سم و14 سم بنفس الزاوية المحصورة بينهما 75 درجة، هل المثلثان متشابهين؟

الحل:

يمكن إثبات تشابه المثلثين بالاعتماد على تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما.
15/10= 3/2، 21/14= 3/2.
بما أن النسبة بين ضلعين متناظرين هي 3/2، والزاوية بين الضلعين 75 درجة، إذاً فإن المثلثين متشابهان.

يمكن القول إنه يمكن اعتبار المثلثين متشابهين إذا تطابقت فيهما زاويتان، أو كانت النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية، أو تناسب فيهما ضلعان وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما. كما يمكن إثبات تشابه المثلثات القائمة بشروط أقل نظرًا لمعرفة إحدى زواياها (90 درجة).