تنظيم خطوات إجراء العمليات الحسابية

أولويات العمليات الحسابية

تعد العمليات الحسابية جزءًا أساسيًا من الرياضيات، ومن الضروري فهم ترتيبها لسهولة الحصول على النتائج الصحيحة. لنأخذ المثال التالي: (3 + 52 × 6) + 7. قد يتساءل الفَرد عن الخطوة الأولى لاختيار العملية الحسابية المناسبة. إذا بدأت العملية بالطريقة الخاطئة، فإن ذلك سيؤدي إلى نتائج غير صحيحة. لذا، هناك مجموعة من القوانين المستقرة والمقبولة التي يجب اتباعها، والمعروفة بأولويات العمليات الحسابية، وهي كالتالي:

1. **الأقواس**: عند حل المسألة: 4 × (5 + 3)؛ يظهر الناتج كالتالي:
   • عند التنفيذ وفقًا للأقواس: 4 × (5 + 3) = 4 × 8 = 32 (إجابة صحيحة).
   • عند تجاهل الأقواس: 4 × (5 + 3) = 20 + 3 = 23 (إجابة خاطئة).
   • في حال كان هناك أكثر من قوس، نبدأ بالقوس الداخلي، كما في: (3 + (3 × 2)) × 5 = (3 + 6) × 5 = 9 × 5 = 45.
   • بالنسبة للأس التربيعي، يجب أن نبدأ بالعوامل كما يلي: 5 × 2² = 5 × 4 = 20 (إجابة صحيحة).
   • وإن تم اعتبار الأس التربيعي بشكل خاطئ: 5 × 2² = 10² = 100 (إجابة خاطئة).
2. **الضرب والقسمة**: مثلاً عند حل: 3 × 5 + 2؛ فإن الناتج كالتالي:
   • البدء بالضرب: 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17 (إجابة صحيحة).
   • البدء بالجمع: 3 × 5 + 2 = 3 × 7 = 21 (إجابة خاطئة).
3. **الجمع والطرح**: وذلك بعد إتمام جميع العمليات السابقة.

ملاحظات حول أولويات العمليات الحسابية

• عند تكافؤ العمليات في المسألة، أي وجود عمليات مثل الضرب والقسمة، أو جمع وطرح، فإن العملية تُجرى من اليمين إلى اليسار في اللغة العربية، ومن اليسار إلى اليمين في الإنجليزية. على سبيل المثال، عند حل: 30 ÷ 5 × 3، فإن الناتج يكون كالتالي:
  • البدء من اليمين: 30 ÷ 5 × 3 = 6 × 3 = 18 (إجابة صحيحة)
  • البدء من اليسار: 30 ÷ 5 × 3 = 30 ÷ 15 = 2 (إجابة خاطئة)
• عند وجود أكثر من أس، يتم معالجتها من الأعلى إلى الأسفل؛ مثال: 432 (43²)، تُحل كما يلي:
  • حساب: 3² = 9، فتكون المسألة: 49 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4، وبالتالي النتيجة النهائية = 262144.

أمثلة متنوعة على ترتيب العمليات الحسابية

المثال الأول: ما هو ناتج العملية: 12 ÷ 6 × 3 ÷ 2؟

الحل:

بما أن القسمة والضرب متكافئتان، فإن الحل يكون من اليمين لليسار:

• 12 ÷ 6 = 2، ثم: 2 × 3 = 6، ثم 6 ÷ 2 = 3، إذًا الناتج هو 3.

المثال الثاني: ما هو حل 4 + 3²؟

الحل:

• الأولوية للأسس؛ وبالتالي 3² = 9 ثم 4 + 9 = 13.

المثال الثالث: حل 4 + (-1 × (-2 – 1))²؟

الحل:

• الأولوية للقوس: 4 + (-1 × (-3))²، ثم 4 + 3².
• ثم الأس: 4 + 9، لذا الناتج يتساوى 13.

المثال الرابع: حل المسألة: 16 – 3 × (8 – 3)² ÷ 5؟

الحل:

• الأولوية للأقواس: 16 – 3 × (5)² ÷ 5، ثم للأس: 16 – 3 × 25 ÷ 5، ثم الضرب والقسمة: 16 – 75 ÷ 5.
• ثم القسمة: 16 – 15، وأخيراً الطرح: 1.

المثال الخامس: حل: 6 × 3 + 4 × (9 ÷ 3)؟

الحل:

• حل الأقواس: 6 × 3 + 4 × 3، ثم الضرب: 18 + 12 = 30.

المثال السادس: حل: 3 + 6 × (5 + 4) ÷ 3 – 7؟

الحل:

• الأقواس: 3 + 6 × 9 ÷ 3 – 7، ثم الضرب والقسمة: 3 + 54 ÷ 3 – 7 = 3 + 18 – 7.
• وأخيرًا: 21 – 7 = 14.

أولويات العمليات الحسابية في الحاسوب

يتم إجراء العمليات الحسابية في الحاسوب وفقًا لأولويات مشابهة لتلك المستخدمة في الرياضيات، وتعرف أحيانًا باسم أسبقية المعامل. إن هذه القواعد تحدد أي من العمليات يجب أن يتم تنفيذها أولاً على النحو التالي:

• الأقواس.
• الأسس.
• الضرب والقسمة.
• الجمع والطرح.

مثال:

ما هي طريقة حل: 3 × 6 ÷ 3 + 12 + (20 + 5)؟

الحل:

• تُجرى العمليات داخل الأقواس أولًا: 3 × 6 ÷ 3 + 12 + 25.
• ثم الضرب: 3 × 6 = 18.
• ثم القسمة: 18 ÷ 3 = 6.
• وأخيرًا الجمع: 6 + 12 + 25 = 43.

اتباع أولويات العمليات الحسابية يُعدّ أمرًا ضروريًا لضمان الحصول على إجابات دقيقة، سواء تمت معالجة المعادلات يدويًا أو باستخدام الحاسوب. الترتيب هو: الأقواس، الأسس، الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.