تعريف الهندسة الإقليدية
الهندسة الإقليدية هي فرع من فروع الرياضيات يركز على دراسة الأشكال المستوية والصلبة، مدعومةً بالافتراضات والبديهيات التي وضعها عالم الرياضيات اليوناني إقليدس، الملقب بأبو الهندسة. وضع إقليدس مجموعة من القواعد الأساسية والنظريات لفهم الهندسة الإقليدية على نحو دقيق. قدم إقليدس أيضاً تعريفات أساسية للنقطة، والخط، والمستوى (السطح). وفقاً لتعريفاته، تتميز المادة الصلبة بشكل وحجم وموقع، ويمكن نقلها من مكان لآخر. حيث يُشار إلى حدود هذه المواد الصلبة بالأسطح التي تفصل جزءًا من الفراغ عن آخر ولا تمتلك سماكة. وتمثل حدود هذه الأسطح بالأشكال المنحنية أو الخطوط المستقيمة، والتي تنتهي بدورها بنقطة. بناءً على ذلك، تُظهر المادة الصلبة ثلاثة أبعاد، كما أن السطح ذو بعدين، والخط بعد واحد، في حين أن النقطة تُعتبر ذات بعد صفري.
الهندسة غير الإقليدية
الهندسة غير الإقليدية تُعتبر أحد الفروع الهندسية المهمة، وتمثل كل ما لا يتبع قواعد الهندسة الإقليدية. ويشيع استخدام هذا الفرع لوصف الهندسة الكروية والهندسة الزائدية.
الاختلافات بين الهندسة الإقليدية والهندسة غير الإقليدية
تتمثل الاختلافات بين الهندسة الإقليدية والهندسة غير الإقليدية في طبيعة الخطوط المتوازية. ففي الهندسة الإقليدية، بالنسبة لنقطة وخط محددين، هناك خط واحد فقط يمكن رسمه عبر النقاط الموجودة في نفس المستوى دون أن يتقاطع معها. في المقابل، تهتم الهندسة غير الإقليدية بدراسة الخطوط غير المستقيمة، مثل تلك الموجودة في الهندسة الكروية.
عناصر الهندسة الإقليدية
عناصر الهندسة الإقليدية تمثل عملًا رياضيًا وهندسيًا مؤلفاً من 13 كتاباً كتبها إقليدس في مدينة الإسكندرية بمصر. تم تقسيم هذه العناصر إلى ثلاثة عشر كتاباً، مما ساعد في نشر مفاهيم الهندسة حول العالم. بصفة عامة، تتألف هذه العناصر من مجموعة من التعريفات والمسلمات (البديهيات)، والنظريات، والبراهين الرياضية.
خصائص الهندسة الإقليدية
تمتاز الهندسة الإقليدية بعدة خصائص، تشمل:
- دراسة الأشكال المستوية والصلبة.
- تحديد النقطة، الخط، والمستوى.
- الجسم الصلب يتميز بشكل وحجم وموقع وقابلية للنقل.
- مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.
- الخطوط المتوازية لا تتقاطع مطلقاً.
- أقصر مسافة بين نقطتين تكون دائماً خطاً مستقيماً.
المسلمات في الهندسة الإقليدية
تحتوي الهندسة الإقليدية على عدة مسلمات، منها:
- الأشياء التي تتساوى تكون متساوية.
- إذا طرحت كميات متساوية من كميات متساوية، فإن النتيجة ستكون متساوية.
- الأشياء التي تتطابق تساوي بعضها البعض.
- الكل أكبر من الجزء.
- الأشياء التي هي ضعف نفس الكميات تتساوى.
- الأشياء التي تكون أنصاف نفس الكميات تتساوى.
أمثلة توضيحية للهندسة الإقليدية
من الأمثلة الشهيرة للهندسة الإقليدية الزوايا والدوائر. حيث تُعتبر الزوايا هي ميل بين خطين مستقيمين، بينما الدائرة تُعرف بأنها شكل مستوٍ يتكون من جميع النقاط التي تبعد مسافة ثابتة (تعرف بنصف القطر) عن نقطة المركز.
تطبيقات الهندسة الإقليدية
تستخدم الهندسة الإقليدية بشكل رئيسي في مجال العمارة لتصميم وبناء هياكل متنوعة. كما أن التصميم يُعتبر من التطبيقات الكبيرة لهذه الهندسة. بالإضافة إلى ذلك، تلعب الهندسة الإقليدية دوراً مهماً في عمليات المساحة، حيث تُستخدم تقنيات المسح لتسوية الأراضي.
مسلمات إقليدس
تنص مسلمات إقليدس على خمس نقاط أساسية، وهي:
- يمكن رسم جزء من خط مستقيم يصل بين أي نقطتين.
- يمكن تمديد أي قطعة من خط مستقيم إلى ما لا نهاية.
- بالنظر إلى أي قطعة مستقيمة، يمكن رسم دائرة ناتجة عن نقطة واحدة كنقطة مركز ونصف قطر.
- جميع الزوايا الصحيحة متطابقة.
- إذا تقاطع خطان مع ثالث بحيث يكون مجموع الزوايا الداخلية على جانب واحد أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين سيتقاطعان على هذا الجانب إذا تم تمديدهم لفترة كافية، وتعرف هذه النقطة بالفرضية الموازية.
النقاش حول الفرضية الموازية
لكن لم يتمكن الكثيرون من إثبات الفرضية الخامسة لإقليدس كنظرية، على الرغم من المحاولات المتكررة لذلك. استخدم إقليدس نفسه الافتراضات الأربعة الأولى لأربعة وعشرين اقتراحًا في عناصره، ولكنه اضطر للاعتماد على الفرضية الموازية. في عام 1823، اكتشف كل من يانوس بولياي ونيكولاي لوباتشيفسكي أنه يمكن بناء أشكال هندسية غير إقليدية تعتمد على عدم وجود الفرضية الموازية، كما اكتشف العالم جاوس أيضاً وجود أشكال هندسية غير إقليدية.