دراسة حول نظرية ذات الحدين

تعريف نظرية ذات الحدين

تعتبر نظرية ذات الحدين أداة قوية تسهم في حساب القيمة الموسعة للتعبير الجبري للصيغة (x + y) ^n. فمن السهل حساب قيم (x + y) 2، و (x + y) 3، وأيضًا (a + b + c) 2 من خلال تكرار الضرب بناءً على القوة المحددة. يُعرف التعبير ذي الحدين بأنه تعبير جبري يتكون من مصطلحين مختلفين فقط، مثل: (a+b) و (a+b)3.

من المهم الإشارة إلى أنه يصبح من الصعب للغاية إيجاد الصيغة الموسعة للتعبيرات ذات القيم الأسية العالية بنفس الطريقة السابقة. إذ إن ذلك عملية متطلبات طويلة ومملة. ولكن باستخدام نظرية ذات الحدين، يمكننا حساب (x + y) n دون الحاجة إلى ضرب التعبير في نفسه n مرة.

مبدأ نظرية ذات الحدين

ظهرت نظرية ذات الحدين لأول مرة في القرن الرابع قبل الميلاد على يد عالم الرياضيات اليوناني الشهير إقليدس. تنص هذه النظرية على توسيع التعبير الجبري (x + y) n، حيث يتم التعبير عنها كمجموع للحدود التي تحتوي على الأسس المنفصلة للمتغيرات (x) و (y). يرتبط كل حد في التوسع ذي الحدين بقيمة عددية تعرف بالمعامل.

تشمل نظرية ذات الحدين عنصرين رئيسيين: المعامل ذو الحدين والتوسع ذو الحدين، وسنوضح كل منهما فيما يلي:

المعامل ذو الحدين

لإيجاد المعاملات التي تظهر في توسيع التعبير ذي الحدين، نحتاج إلى استخدام مجموعات. عند حساب (x + y) n، نستخدم الرمز C (n, r) والذي يُعرف بمعامل ذو الحدين ويُعبر عنه كالتالي:

C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)

حيث أن:

n، r: أعداد صحيحة أكبر من أو تساوي 0 مع n ≥ r، كما يكون المعامل ذو الحدين عددًا صحيحًا.

التوسع ذو الحدين

يُعتبر التوسع ذو الحدين نتيجةً لفك الصيغة (x + y) n من خلال عملية الضرب، حيث يتضمن معاملات ذات الحدين. إذا كنا نريد فك (x + y)52، يمكننا مضاعفة (x + y) في نفسها 52 مرة، مما قد يستغرق وقتاً طويلاً. لذلك، إذا نظرنا إلى بعض التوسعات البسيطة، نجد أننا نستطيع استنتاج أنماط ستساعدنا في تسريع عملية العثور على توسعات ذات حدين أكثر تعقيدًا. وتظهر ذلك في المعادلة التالية:

(x + y)n = ∑ C (n,k) (x(n-k)) (yk) = xn + C (n,1) (x(n − 1)) y + C (n,2) (x(n − 2)) (y2) + … + C (n,n-1) x (y(n − 1)) + yn

ترتبط نظرية ذات الحدين بمجموعة من الاستنتاجات، ومنها:

يحتوي مفكوك (x + y) ^n على n + 1 حدود.
تُعتبر الدرجة أو مجموع الأس لكل مصطلح هي n.
تبدأ القوى على x بـ n وتتناقص حتى 0.
بينما تبدأ القوى على y بـ 0 وتزداد حتى n.
تعتبر المعاملات متماثلة.

أمثلة على نظرية ذات الحدين

يلزم الاطلاع على الأمثلة التالية لتوضيح كلا من المعامل ذي الحدين والتوسع ذي الحدين:

مثال 1: احسب المعامل ذي الحدين لـ C (5,3).

الحل:

C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
C (5,3) = 5! / (3! (5 − 3)!)
(5x4x3!) / (3!x2!)
5×4 / 2!
10

مثال 2: احسب المعامل ذي الحدين لـ C (9,2).

الحل:

C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
C (9,2) = 9! / (2! (9 − 2)!)
(9x8x7!) / (2!x7!)
9×8 / 2!
36

مثال 3: احسب المعامل ذي الحدين لـ C (9,7).

الحل:

C (n,r) = n! / (r! (n − r)!)
C (9,7) = 9! / (7! (9 − 7)!)
(9x8x7!) / (7!x2!)
9×8 / 2!
36

مثال 4: احسب التوسع لـ (x + y) ^5.

الحل:

لاحظ أن n = 5، مما يعني وجود 5 + 1 = 6 حدود، وكل حد له درجة مجمعة من 5، بترتيب تنازلي لقوى x.
أدخل x^5، ثم قلل أس x بمقدار 1 لكل حد متتالي حتى تصل إلى x^0 = 1.
أدخل y^0 = 1، ثم زد أس y بمقدار 1 حتى تصل إلى y^5.
بعد إدخال x و y، يصبح التوسع بالشكل التالي:
x^5 , x^4y , x^3y^2 , x^2y^3 , xy^4 , y^5.
لذا، سيكون التوسع بالشكل التالي:
(x+y)5 = x^5 + 5(x^4)y + 10(x^3)(y^2) + 10(x^2)(y^3) + 5x (y^4) + y^5.