تحليل الفرق بين مكعبين رياضيين

مقدمة حول الفرق بين مكعبين

يعتبر الفرق بين مكعبين (باللغة الإنجليزية: Difference of Two Cubes) إحدى الحالات الخاصة للكثيرات الحدودية، حيث تُعرَف الصيغة العامة لهذا الفرق على أنها: س³ – ص³، مع الملاحظات التالية:

س³ يمثل الحد الأول، ويجب أن يكون مكعباً كاملاً.
ص³ يمثل الحد الثاني، ويجب أن يكون أيضاً مكعباً كاملاً.
بين الحدين توجد إشارة فرق (طرح) مما يدل على الفرق بين الحدين المكعبين.

للمزيد من التفاصيل حول تحليل الفرق بين مربعين، يمكنك الاطلاع على المقال التالي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.

طرق تحليل الفرق بين مكعبين

تحليل الفرق بين مكعبين يعني تحويل المسألة (س³ – ص³) إلى الشكل التالي:

الفرق بين مكعبين = (الجذر التكعيبي للحد الأول – الجذر التكعيبي للحد الثاني) × (مربع الجذر التكعيبي للحد الأول + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الأول في الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني)، أو بالأحرى: (س³ – ص³) = (س – ص)(س² + س ص + ص²).

لتحليل الفرق بين مكعبي حدين إلى عواملهما، يجب بداية التأكد من أن المقدار مكتوب بالشكل العام (س³ – ص³)، ثم اتباع الخطوات التالية:

التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين، وإذا وُجد، يجب إخراجه أولاً.
فتح قوسين مع كتابة العامل المستخرج خارج القوسين وضربه بهما: ( ) × ( ).
تكتفى في القوس الأول إشارة طرح، وفي القوس الثاني إشارتا جمع: ( – ) × ( + + ).
حساب الجذر التكعيبي للحد الأول وكتابته دون إشارة في القوس الأول، هكذا: (س – ) × ( + + ).
حساب الجذر التكعيبي للحد الثاني وكتابته دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطرح: (س – ص) × ( + + ).
وبهذا يكون الشكل النهائي للقوس الأول قد تم، بينما القوس الثاني يتطلب تطبيق الخطوات الآتية:
- تربيع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)²، ويُكتب في القوس الثاني قبل أول إشارة جمع: (س – ص) × (س² + + ).
- حساب حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: س × ص، ويُكتب ناتج الضرب في القوس الثاني بين إشارتي الجمع: (س – ص) × (س² + (س × ص) + ).
- تربيع الجذر التكعيبي للحد الثاني: (ص)²، ويُكتب في القوس الثاني بعد الإشارة الثانية للجمع: (س – ص) × (س² + (س × ص) + ص²).
- وبهذا يكون الشكل النهائي للقوسين هو: (س³ – ص³) = (س – ص) × (س² + (س × ص) + ص²).

للمزيد من المعلومات حول تحليل مجموع مكعبين، يمكنك قراءة المقال التالي: تحليل مجموع مكعبين.

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

المثال الأول: قم بتحليل ثنائي الحدود س³ – 27 إلى عوامله الأساسية.
- الحل:
- يتمثل ثنائي الحدود المعطى كفرق بين مكعبين، حيث إن الحد س³ مكعب كامل، والحد 27 كذلك مكعب كامل. الجذر التكعيبي للحد س³ هو س، والجذر التكعيبي للحد 27 هو 3. لذا، طبقاً لقانون الفرق بين المكعبين:
- س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، وبذلك، س³ – 27 = (س – 3)(س² + 3س + 9).

المثال الثاني: حلل العبارة التالية: (64 – 125) باستخدام الفرق بين مكعبين.
- الحل:
- لاحظ أن الحد الأول 125 هو مكعب كامل = 5×5×5، بينما الحد الثاني 64 هو مكعب كامل = 4×4×4. وبالتالي، يمكن كتابة المسألة كالتالي: 64 – 125 = (4)³ – (5)³.
- باستخدام الصيغة العامة للفرق بين المكعبين والتعويض عنها، نجد: (4)³ – (5)³ = (4 – 5) × ((4)² + (4×5) + (5)²).
- (4)³ – (5)³ = (1 – ) × (16 + 20 + 25) = 61 -.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة، يمكنك الاطلاع على المقال التالي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.
للمزيد من المعلومات حول طرق حل المعادلات، يمكنك قراءة المقال التالي: طرق حل المعادلات الجبرية.