تعريف شبه المنحرف
شبه المنحرف هو شكل ثنائي الأبعاد يضم أربعة أضلاع مستقيمة. يتميز بوجود زوج من الأضلاع المتقابلة المتوازية، والتي تعتبر قاعدتيه، بينما يشكل الضلعان الآخران غير المتوازيين ساقيه. يُعرف الارتفاع بأنه المسافة العمودية بين القاعدتين. يمكن وصف شبه المنحرف بأنه شكل رباعي ذو ضلعين متوازيين، وغالباً ما يكون الضلع الأطول هو القاعدة السفلية، بينما يكون ضلعاه الجانبيان مائلين، وعادة ما يكون طول القاعدة العلوية أقصر من القاعدة السفلية. يشبه شبه المنحرف في هيكله مثلثاً مقطوع الرأس.
خصائص شبه المنحرف
يمتاز شبه المنحرف بعدد من الخصائص، ومنها:
- يحتوي على أربعة زوايا مجموعها 360 درجة، وزوايا أي ساق مكملة لبعضها البعض.
- المستقيم المتوسط أو خط الوسط في شبه المنحرف يُرسم موازياً لقاعدتيه، وطوله يساوي مجموع طول القاعدتين مقسوماً على 2.
- نقطة تقاطع الأقطار تقع على استقامة واحدة مع نقاط منتصف كل ضلعين متقابلين.
أنواع شبه المنحرف
يمكن تصنيف شبه المنحرف إلى الأنواع التالية:
- شبه المنحرف متساوي الساقين: يعرف بهذا الاسم إذا كانت ساقاه غير المتوازيين متساويتين في الطول. يتميز بأن زوايا القاعدة السفلية متساوية وكذلك زوايا القاعدة العلوية، كما يتساوى طول الأقطار أيضاً. فضلاً عن ذلك، فإن قياس زاوية القاعدة السفلى مكمل لقياس زاوية القاعدة العليا على نفس الساق في كلا الاتجاهين.
- شبه المنحرف القائم الزاوية: يحتوي هذا النوع على زوايتين قائمتين، بحيث يكون أحد ساقيه قائماً على القاعدتين.
- شبه المنحرف مختلف الأضلاع: يتميز بعدم وجود أي أضلاع أو زوايا متساوية.
حساب ارتفاع شبه المنحرف
يمكن استخدام القانون التالي لحساب ارتفاع شبه المنحرف:
ارتفاع شبه المنحرف = طول الضلع (الساق) المقابل للارتفاع × جا الزاوية السفلية المحصورة بين هذا الضلع والقاعدة السفلية.
بالرموز، يمكن التعبير عن ذلك بالشكل التالي:
ارتفاع شبه المنحرف (أ ب ج د) إذا كانت (أب) هي القاعدة السفلية، و(د ج) هي القاعدة العلوية:
الارتفاع = طول الساق (أ د) × جا الزاوية (أ)
أو
الارتفاع = طول الساق (ب ج) × جا الزاوية (ب)
حساب أطوال أقطار شبه المنحرف
- لحساب أطوال أقطار شبه المنحرف (أ ب ج د) حيث (أب) تمثل القاعدة السفلية و(د ج) القاعدة العلوية، يتم تطبيق القانون التالي:
طول القطر الأول (أج) = الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² + (ب ج)² − 2×(أب)(ب ج)×جتا(الزاوية المحصورة بينهما))
طول القطر الثاني (دب) = الجذر التربيعي للقيمة ((أد)² + (أب)² − 2×(أد)(أب)×جتا (الزاوية المحصورة بينهما))
- يمكن التعبير عن مجموع مربعي طولي الأقطار بالمعادلة التالية:
مجموع مربعي طولي الأقطار = مربع طول الساق الأول + مربع طول الساق الثاني + 2 × طول القاعدتين
- لحساب أطوال أقطار شبه المنحرف القائم الزاوية، يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس، مما ينتج أنه:
طول القطر الأول = الجذر التربيعي لمجموع مربعي طول ساقه القائم على القاعدتين وطول القاعدة السفلى.
طول القطر الثاني = الجذر التربيعي لمجموع مربعي طول ساقه القائم على القاعدتين وطول القاعدة العليا.
لتوضيح ذلك:
إذا افترضنا وجود شبه منحرف (أ ب ج د) قائم الزاوية عند النقطتين (أ) و(ب)، فإن:
طول القطر الأول = الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² + (ب ج)²)
طول القطر الثاني = الجذر التربيعي للقيمة ((أب)² + (أد)²)
حساب مساحة شبه المنحرف
يمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام الصيغة التالية:
مساحة شبه المنحرف = ½ × (مجموع طول القاعدتين) × الارتفاع.
أما بالنسبة لكيفية اشتقاق هذه الصيغة، فهي كالآتي:
أولاً، يتم تقسيم شكل شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل، مما يؤدي إلى:
- مساحة شبه المنحرف = مساحة المثلث الأول + مساحة المثلث الثاني + مساحة المستطيل، ويمكن التعبير عنها بمعادلة كالتالي:
- مساحة شبه المنحرف = (½) × قاعدة المثلث الأول × ارتفاعه + (½) × قاعدة المثلث الثاني × ارتفاعه + طول المستطيل × عرضه.
- لتبسيط ذلك، نفترض أن هناك شبه منحرف قُسّم إلى مثلثين مستطيلين، حيث يصبح الناتج مساحة المثلث الأول = (½)×أ×ع؛ مساحة المثلث الثاني = (½)×ج×ع؛ ومساحة المستطيل = ب×ع.
- مما سبق، نجد أن: مساحة شبه المنحرف = (½)×أ×ع + (½)×ج×ع + ب×ع. وبضرب الطرفين في 2 ينتج: 2×مساحة شبه المنحرف = أ×ع + ج×ع + 2ب×ع.
- بإخراج ع كعامل مشترك، فإن: 2×مساحة شبه المنحرف = ع× (أ + ج + 2ب)، وبالتالي نخلص إلى أن: مساحة شبه منحرف = (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (ب + ب2) × ع.
أمثلة على حساب مساحة شبه المنحرف
المثال الأول: إذا كانت أطوال قاعدة شبه منحرف 35.6 سم و25.4 سم على التوالي، وارتفاعه 12.7 سم، احسب مساحته.
الحل:
- المساحة = (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (35.6 + 25.4) × 12.7 = (½) × 61 × 12.7 = 387.35 سم².
المثال الثاني: احسب مساحة شبه منحرف أطوال قاعدتيه 9 سم، و7 سم وارتفاعه 3 سم.
الحل:
- المساحة = (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (7 + 9) × (3) = 24 سم².
حساب محيط شبه المنحرف
يُعبر محيط شبه المنحرف عن مجموع أطوال أضلاعه الأربعة. يمكن استخدام نظرية فيثاغورس للشعور الطويل الأضلاع في حالة كانت مجهولة. يمكن صياغة القانون كما يلي:
محيط شبه المنحرف = أ + ب + ج + د.
حيث أن:
(أ)، (ب)، (ج)، (د): هي أطوال أضلاع شبه المنحرف.
أمثلة على حساب محيط شبه المنحرف
المثال الأول: احسب محيط شبه منحرف أطوال أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم، و7 سم.
الحل:
- بتطبيق قانون محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال الأضلاع = (3 + 5 + 7 + 4) = 19 سم.
المثال الثاني: احسب محيط شبه منحرف أطوال أضلاعه 12 سم، 5 سم، 15 سم، و4 سم.
الحل:
- بتطبيق قانون محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال الأضلاع = (12 + 5 + 15 + 4) = 36 سم.
المثال الثالث: احسب محيط شبه منحرف متساوي الساقين، إذا كان طول القاعدة السفلية يساوي 4 أضعاف طول القاعدة العليا، وبلغ طول القاعدة العليا 6.35 سم، وطول أحد جانبيه غير المتوازيين 11.43 سم.
الحل:
- أولاً، يُحسب طول القاعدة السفلية والتي تساوي 4 أضعاف القاعدة العليا، أي 4 × 6.35 = 25.4 سم. بما أنّ شبه المنحرف متساوي الساقين، فإنّ جانبيه غير المتوازيين لهما نفس الطول وبالتالي: المحيط = 6.35 + 25.4 + 11.43 + 11.43 = 54.61 سم.
أمثلة حسابية مختلفة على شبه المنحرف
المثال الأول: إذا كان محيط شبه منحرف متساوي الساقين 110 م، وطولي قاعدتيه 40 م و30 م، احسب مساحة شبه المنحرف وأطوال أضلاعه غير المتوازية.
الحل:
- أولاً، نحسب طول أحد جانبي الكائن اعتماداً على محيط شبه المنحرف. وبما أنه شبه منحرف متساوي الساقين، فإن جوانبه غير المتوازية تكون متساوية في الطول. وبالتالي، يصبح:
- محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال الأضلاع 110 = 40 + 30 + (2 × س)
- (2 × س) = 110 – 70
- (2 × س) = 40، وبالتالي س = 20.
- لإيجاد مساحة شبه المنحرف، يجب أولاً حساب ارتفاعه عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس كما يلي: (20)² = (5)² + (الارتفاع)².
ملاحظة: 5 هنا تعكس طول قاعدة المثلث الناتج عن تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين ومستطيل.
- 400 = 25 + (الارتفاع)² => (الارتفاع)² = 375، وبعد أخذ الجذر التربيعي للطرفين، يصبح الارتفاع = 19.36 م.
- والآن يمكننا تطبيق قانون المساحة: (½) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع = (½) × (30 + 40) × 19.36 = (½) × 70 × 19.36 = 677.6 م².
المثال الثاني: شبه منحرف (أ ب ج د) يمتلك مستقيم متوسط طوله 15 سم، حيث طول القاعدة السفلية يُعبر عنه بـ (8 س + 5)، وطول القاعدة العلوية يُعبر بـ (6 س – 3). احسب قيمة س.
الحل:
- طول المستقيم المتوسط يعبر عن (½) × مجموع طول القاعدتين، وهذه إحدى خصائص شبه المنحرف.
- 15 = (½) × ( 8 س + 5 + 6 س – 3) = (½) × (14 س + 2)
- 7 س = 14، ومن هنا س = 2.
المثال الثالث: (أ ب ج د) شبه منحرف متساوي الساقين إذا كان قياس الزاوية (أ د ج) = 115°، احسب قياس الزاوية (أ ب ج).
الحل:
- وفقاً لخصائص المثلث، فإن الزوايتين الداخليتين المتجاورتين الواقعتين بين القاعدتين المتوازيتين (على نفس الساق) تكون مكملة لبعضها البعض؛ لذا تكون الزاوية (د ج ب) = 180° – 115°، لذلك قياس الزاوية (د ج ب) = 65°.
- ونعلم أن زوايا قاعدة شبه المنحرف متساوي الساقين متطابقة، وبالتالي قياس الزاوية (أ ب ج) = 65°.
المثال الرابع: (س ص ع ل) شبه منحرف قائم الزاوية حيث طول الضلع (س ص) = 15.24 سم، وطول الضلع (ص ع) = 25.4 سم، وطول الضلع (ع ل) = 20.32 سم، وطول الضلع (ل س) = 10.16 سم. تم رسم مستقيم متوسط له يُسمى (و ي)، احسب طول (ع ي).
الحل:
- بما أن المستقيم المتوسط يكون موازياً للقاعدتين وطوله يساوي متوسط طول القاعدتين، فإن هذا يعني أن المستقيم المتوسط يُنصف جانبي شبه المنحرف إلى قطعتين متساويتين، وبالتالي: طول (ع ي) = ½ × (ل ع)، إذًا (ع ي) = 10.16 سم.
المثال الخامس: (أ ب ج د) شبه منحرف قائم الزاوية، حيث (أ ب) يوازي (د ج)، وقياس الزاوية (أ) يساوي 120°. احسب قياس الزاوية (د).
الحل:
بما أن مجموع أي زوايتين على نفس ساق شبه المنحرف يساوي 180°، فإن: قياس الزاوية (د) + قياس الزاوية (أ) = 180°.
وعليه، فإن قياس الزاوية (د) = 180° – 120° = 60°.
المثال السادس: (أ ب ج د) شبه منحرف، إذا عُلم أن مجموع قياس الزوايا (أ) و(ب) و(ج) = 290°. احسب قياس الزاوية (د).
الحل:
- بما أن شبه المنحرف هو شكل رباعي الأضلاع، فإن مجموع زواياه تساوي 360°. وبالتالي نستنتج ما يلي:
- قياس الزاوية (د) = 360° – 290°، ومن ثم قياس الزاوية (د) = 70°.
شبه المنحرف هو شكل رباعي يتميز بوجود ضلعين متوازيين يمثلان قاعدتيه وضلعين جانبيين مائلين يمثلان ساقيه. عادةً ما تكون القاعدة السفلى أطول من القاعدة العلوية، ومجموع زواياه يساوي 360°. يمكن حساب مساحة شبه المنحرف، محيطه، وأطوال أقطاره باستخدام مجموعة من القوانين الرياضية.