اللوغاريتمات
تُعرّف اللوغاريتمات (بالإنجليزية: logarithm) على أنها العملية العكسية لعملية الأسس، حيث يُعتبر لوغاريتم عدد معين بالنسبة لأساس معين هو الأس أو القوة التي يجب رفع هذا الأساس للحصول على ذلك العدد. وبالتالي، فإن صيغة اللوغاريتم تعكس الصيغة الأسية (ن^س = ص) على النحو التالي:
لوغ(ص) = س
خصائص اللوغاريتمات
تساهم خصائص اللوغاريتمات في تبسيط المعادلات المعقدة وتحويلها إلى صور أبسط. وبما أن اللوغاريتمات مترابطة بالأسس، فإنها تشترك معها في الخصائص. وفيما يلي خمس خصائص رئيسية للوغاريتمات:
خاصية الأس واحد
تنص خاصية الأس واحد على أن ناتج لوغاريتم العدد للأساس هو نفسه العدد ويُساوى دائمًا واحد. ذلك لأن رفع أي عدد إلى الأس واحد يعطي نفس العدد، أي:
س^1 = س، وبالتالي: لوغ(س) = 1
خاصية الأس صفر
تشير خاصية الأس صفر إلى أن لوغاريتم العدد واحد لأي أساس يساوي دائمًا صفر، وذلك لأن رفع أي عدد إلى الأس صفر يساوي واحد، أي:
س^0 = 1، وبالتالي: لوغ(1) = 0
خاصية الضرب
تنص خاصية الضرب على أن لوغاريتم حاصل ضرب عددين هو مجموع لوغاريتم كل عدد على حدة، أي:
لوغ(س×ص) = لوغ(س) + لوغ(ص)
خاصية القسمة
تنص خاصية القسمة على أن لوغاريتم ناتج قسمة عددين هو ناتج طرح لوغاريتم كل عدد على حدة، أي:
لوغ(س/ص) = لوغ(س) – لوغ(ص)
خاصية الأس
تشير خاصية الأس إلى أن لوغاريتم عدد مرفوع لأس هو ناتج ضرب الأس في لوغاريتم ذلك العدد، أي:
لوغ(س^ص) = ص × لوغ(س)
خاصية تغيير الأساس
تنص خاصية تغيير الأساس على أن لوغاريتم عدد لأساس معين هو ناتج قسمة لوغاريتم ذلك العدد لأساس جديد على لوغاريتم الأساس الأصلي للأساس الجديد، أي:
لوغ(س) = لوغ(س) / لوغ(ن)
خاصية التبادل
تنص خاصية التبادل على أن لوغاريتم عدد لأساس معين هو ناتج عكسي لوغاريتم الأساس للعدد، أي:
لوغ(س) = 1 / لوغ(ن)
أنواع اللوغاريتمات
يمكن تحديد أنواع اللوغاريتمات كالتالي:
اللوغاريتم الشائع
يعرف لوغاريتم العدد للأساس 10 باللوغاريتم الشائع (Common Logarithm) أو اللوغاريتم العشري (decimal logarithm)، حيث يكون الأساس دائمًا 10 ويُكتب على الشكل التالي:
لوغ10(س) وبالإنجليزية (log10(X))
كما يمكن كتابته دون حدود الرقم 10 كالتالي:
لوغ (س)، وبالإنجليزية: (log X)
يتشارك اللوغاريتم الشائع في نفس الخصائص الأساسية مع باقي أنواع اللوغاريتمات.
اللوغاريتم الطبيعي
يعرف لوغاريتم العدد للأساس العدد النيبيري (هـ)، والذي يساوي 2.71، باسم اللوغاريتم الطبيعي. في هذه الحالة، يكون الأساس ثابتًا وهو هـ، ويُكتب بالشكل التالي:
لوغهـ(س)، ويُكتب بالإنجليزية (ln(X))
ويتمتع اللوغاريتم الطبيعي بنفس الخصائص الأساسية التي تتمتع بها أنواع اللوغاريتمات الأخرى.