المنطق في الرياضيات
يتناول مجال المنطق في الرياضيات (بالإنجليزية: logic in mathematics) دراسة الحقائق الرياضية واستخلاصها من خلال الاستنتاجات الرياضية. يُعتبر المنطق اللغة الأساسية للرياضيات والمبدأ الرئيسي للبراهين والإثباتات، ويشمل المفاهيم المتعلقة بالأعداد واللانهائية وغيرها من مجالات الرياضيات. يُعتبر المنطق في الرياضيات علماً مستقلاً يتم تدريسه في المدارس والجامعات، كما يرتبط بمجالات أخرى مثل الفيزياء والفلسفة والهندسة وعلوم الحاسوب.
تاريخ المنطق في الرياضيات
ظهر المنطق في الرياضيات قبل آلاف السنين؛ حيث استخدمه المصريون القدماء في مجالات العمارة والبناء، واستفاد منه علماء الفلك البابليون، بالإضافة إلى تطوره بشكل مستقل في الهند والصين. وبعد مرور فترة طويلة، قام مجموعة من علماء الرياضيات والفلاسفة اليونانيين بتطوير نظام منطقي متكامل للاستنتاج الرياضي وكانوا يسعون للوصول إلى حقائق رياضية دقيقة.
كما انتقلت العديد من أفكار ونظريات أفلاطون وأرسطو عبر العصور الوسطى، ليعاد النظر فيها من قبل علماء آخرين، مثل القديس توما الأكويني وعدد من علماء الرياضيات العرب. ويعتبر جوتفريد لايبنيز من أوائل الذين استخدموا الرموز في المنطق الرياضي بشكل مشابه لما نراه اليوم.
أمثلة على قوانين المنطق في الرياضيات
نستعرض فيما يلي بعض قوانين المنطق في الرياضيات، والتي تتضمن استخدام الرموز والعلاقات المنطقية بين تلك الرموز. قد تبدو بعض هذه العلاقات بديهية للوهلة الأولى، ولكنها تتطلب التركيز لفهمها تماماً:
القوانين التبادلية (Commutative Laws)
تتمثل القوانين التبادلية في الرياضيات فيما يلي:
- إذا كانت س ∨ ص، فإنها تعادل ص ∨ س.
- إذا كانت س ∧ ص، فإنها تعادل ص ∧ س.
القوانين التجميعية (Associative Laws)
أما القوانين التجميعية في الرياضيات فهي كما يلي:
- إذا كانت س ∨ ص ∨ ع، فإنها تعادل (س ∨ ص) ∨ ع.
- إذا كانت س ∧ ص ∧ ع، فإنها تعادل (س ∧ ص) ∧ ع.
القوانين التطابقية (Identity Laws)
تشمل القوانين التطابقية في الرياضيات ما يلي:
- إذا كانت س ∨ 0، فإنها تعادل س.
- إذا كانت س ∧ 1، فإنها تعادل 1.
القوانين التوزيعية (Distributive Laws)
القوانين التوزيعية في الرياضيات هي كما يلي:
- إذا كانت س ∧ (ص ∨ ع)، فإنها تعادل (س ∧ ص) ∨ (س ∧ ع).
- إذا كانت س ∨ (ص ∧ ع)، فإنها تعادل (س ∨ ص) ∧ (س ∨ ع).
قوانين ديمورغان (DeMorgan Distributive Laws)
تتضمن قوانين ديمورغان في الرياضيات ما يلي:
- ¬ (س ∨ ص) تعادل ¬ (س) ∧ ¬ (ص).
- ¬ (س ∧ ص) تعادل ¬ (س) ∨ ¬ (ص).
مع العلم بأن:
- ∨ تعني: “أو”، أي أن (س ∨ ص) تعني: س أو ص.
- ∧ تعني: “و”، أي أن (س ∧ ص) تعني: س و ص.
- ¬ تعني: “ليس”، أي أن (¬ ص) تعني: ليس ص.