تعريف الدائرة وخصائصها
تُعرف الدائرة (بالإنجليزية: Circle) بأنها مجموعة من النقاط الموجودة على سطح معين، حيث تبعد جميع هذه النقاط نفس المسافة عن نقطة محددة تعرف باسم المركز. تُعرف المسافة بين أي نقطة من هذه النقاط ومركز الدائرة بنصف قطر الدائرة (بالإنجليزية: Radius) ورمزه (نق). بينما يمثل القطر (بالإنجليزية: Diameter) ضعف هذه المسافة، ورمزه (ق). كلما قُسم محيط الدائرة على قطرها تكون النتيجة دائمًا ثابتة تساوي: 3.141592654، المعروفة باسم الثابت باي (بالإنجليزية: Pi) ورمزها (π). تشمل خصائص الدائرة ما يلي:
- تتطابق دائرتان إذا تساوى طول نصف أقطارهما.
- القطر هو أطول وتر في الدائرة.
- إذا كان نصف القطر عموديًا على الوتر، فإنه يقسمه إلى نصفين متساويين.
- إذا تساوى الوتران في بعدهما عن المركز، يُعتبران متساويين في الطول.
- إذا تقاطعت المماسّان مع الدائرة عند نهاية القطر، فإنهما يعتبران متوازيين.
- تتساوى الأوتار المتطابقة في بعدها عن المركز.
أجزاء الدائرة والمصطلحات المرتبطة بها
من المصطلحات المرتبطة بالدائرة ما يلي:
- القوس: (بالإنجليزية: Arc) هو جزء من محيط الدائرة.
- القطاع: (بالإنجليزية: Sector) هو المنطقة المحددة بين نصفَي قطرين مختلفين في الدائرة. ينقسم القطاع الدائري إلى نوعين خاصين:
- الربع الدائري: (بالإنجليزية: Quadrant)، وهو القطاع الدائري الذي تعادل مساحته ربع مساحة الدائرة.
- نصف الدائرة: (بالإنجليزية: Semicircle)، وهو القطاع الدائري الذي تعادل مساحته نصف مساحة الدائرة.
- الوتر: (بالإنجليزية: Chord) هو خط مستقيم يصل بين نقطتين على محيط الدائرة.
- القطعة: (بالإنجليزية: Segment) هي المنطقة المحصورة بين أي وتر في الدائرة ومحيطها.
- محيط الدائرة (بالإنجليزية: Circumference): هو المسافة التي تمثل حدود الدائرة الخارجية.
- نصف القطر (بالإنجليزية: Radius): هو الخط المستقيم الذي يصل بين مركز الدائرة وأي نقطة تقع على محيطها.
- القطر (بالإنجليزية: Diameter): هو وتر يمر عبر مركز الدائرة، وطوله يساوي القطر = 2 × طول نصف القطر.
- المماس: (بالإنجليزية: Tangent) هو خط مستقيم يقع خارج الدائرة ويمسها عند نقطة واحدة فقط.
- القاطع (بالإنجليزية: Secant): هو خط مستقيم يقطع الدائرة عبر نقطتين تقعان على محيطها.
مساحة الدائرة
تُعتبر مساحة الدائرة هي المنطقة الحبيسة داخل حدودها، ويمكن حسابها باستخدام أحد القوانين الآتية:
- مساحة الدائرة = π × مربع نصف القطر، وبالرموز: م = π × نق².
- مساحة الدائرة = (π/4) × مربع القطر، وبالرموز: م = (π/4) × ق².
- مساحة الدائرة = مربع محيط الدائرة / (π × 4)، وبالرموز: م = ح² / (π4).
أمثلة على حساب مساحة الدائرة
- المثال الأول: دائرة نصف قطرها 3سم، احسب مساحتها.
- الحل: باستخدام قانون مساحة الدائرة، يصبح الناتج كما يلي:
- م = π × نق²، وبالتالي م = 3.14 × 3² = 28.26 سم²
- المثال الثاني: دائرة قطرها 10سم، احسب مساحتها.
- الحل:
- باستخدام القانون: م = (π/4) × ق²، ينتج م = (3.14/4) × 10² = 78.5 سم²
محيط الدائرة
يمكن تعريف محيط الدائرة بأنه طول حدودها الخارجية. يمكن حساب محيط الدائرة باستخدام القوانين التالية:
- محيط الدائرة = 2 × π × نصف قطر الدائرة، وبالرموز: ح = 2 × π × نق.
- محيط الدائرة = π × قطر الدائرة، وبالرموز: ح = π × ق.
- محيط الدائرة = الجذر التربيعي للقيمة (4 × π × مساحة الدائرة)، وبالرموز: ح = √(4 × π × م).
أمثلة على حساب محيط الدائرة
- المثال الأول: دائرة نصف قطرها 7سم، احسب محيطها.
- الحل: باستخدام قانون محيط الدائرة يصبح الناتج كما يلي:
- ح = 2 × π × نق، وبالتالي م = 2 × 3.14 × 7 = 43.96 سم.
- المثال الثاني: دائرة قطرها 10سم، احسب محيطها.
- الحل: بتعويض قيمة القطر في قانون محيط الدائرة نجد:
- ح = π × ق، وبالتالي م = 3.14 × 10 = 31.4 سم.
- المثال الثالث: إذا كانت مساحة الدائرة تساوي 81π م²، احسب محيطها.
- الحل: باستخدام القانون: محيط الدائرة = الجذر التربيعي للقيمة (4 × π × مساحة الدائرة)، يصبح: ح = √(4 × π² × 81)، ومن ثم: ح = π18 م.
معادلة الدائرة
يمكن اشتقاق معادلة الدائرة عبر رسم مثلث قائم الزاوية ووتره الممتد من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيطها. بعد ذلك، نرسم ضلعين آخرين من خلال رسم العمود الساقط من نقطة تقاطع الوتر مع محيط الدائرة، ورسم ضلع آخر أفقي يمتد من مركز الدائرة حتى يلتقي بذلك العمود. ثم نستخدم قانون فيثاغورس في الحالتين الآتيتين:
- معادلة الدائرة المركزية: في حالة وجود دائرة مركزية، أي أن المركز هو النقطة (0،0)، يمكن الإشارة إلى طول قاعدة المثلث القائم المرسوم داخلها بالرمز (س)، والارتفاع بالرمز (ص). إذًا إن طول الوتر في هذا المثلث يساوي طول نصف قطرها، وعليه معادلة هذه الدائرة تتبنى الصيغة:
- معادلة الدائرة المركزية: س² + ص² = نصف القطر².
- معادلة الدائرة غير المركزية: إذا كانت الدائرة غير مركزية، أي أن مركزها لا يقع عند النقطة (0،0)، فإن طول قاعدة المثلث القائم هو الرمز (س) مطروحاً منه الإحداثي السيني لمركز الدائرة. أما ارتفاع المثلث فيُرمَز له بالرمز (ص) مطروحاً منه الإحداثي الصادي لمركز الدائرة. وبالتالي، يمكن اشتقاق معادلة عامة لأي دائرة، سواء كانت مركزية أم غير مركزية:
- معادلة الدائرة (الصورة القياسية): (س – أ)² + (ص – ب)² = (نصف القطر)²؛ حيث إن:
- أ: الإحداثي السيني لمركز الدائرة.
- ب: الإحداثي الصادي لمركز الدائرة.
- بعد إعادة ترتيب المعادلة وتجميع الثوابت، نحصل على الصورة العامة لمعادلة الدائرة وهي:
- معادلة الدائرة (الصورة العامة): س² + ص² + دس + و ص + ج = 0؛ حيث إن:
- د = -2 × الإحداثي السيني لمركز الدائرة.
- و = -2 × الإحداثي الصادي لمركز الدائرة.
- ج = الإحداثي السيني لمركز الدائرة² + الإحداثي الصادي لمركز الدائرة² – نصف قطر الدائرة².
كمثال، إذا كانت هناك دائرة نصف قطرها 6 سم، ومركزها هو النقطة (3،4)، فإن معادلتها ستكون: (س – 3)² + (ص – 4)² = 36. وبفك الأقواس، نحصل على الصورة العامة لمعادلة الدائرة: س² + ص² – 6س – 8ص – 11 = 0.
أمثلة متنوعة على معادلة الدائرة
- مثال أول: إذا كانت الصورة القياسية لمعادلة الدائرة هي: (س + 11)² + (ص – 9)² = 16، جد الصورة العامة لها. الحل: بفك الأقواس تظهر المعادلة: س² + ص² + 22س – 18ص + 187 = 0.
- مثال ثان: جد معادلة دائرة مركزية نصف قطرها 4. الحل: باستخدام الصورة القياسية تكون: س² + ص² = 16.
- مثال ثالث: جد معادلة الدائرة إذا كان مركزها (3، -5) والنقطة (-1، -8) تقع على محيطها. الحل: باستخدام الصورة القياسية (س – 3)² + (ص + 5)² = (نصف القطر)². بتعويض نقطة (-1، -8) نجد أن: (-1 – 3)² + (-8 + 5)² = (نصف القطر)²، ومن هنا نجد أن نصف القطر = 5، بديلاً بهذه النتيجة في المعادلة، تظهر: (س – 3)² + (ص + 5)² = 25.
قوانين متنوعة متعلقة بالدائرة
من القوانين المتعلقة بالدائرة ما يلي:
- قانون حساب طول وتر الدائرة: يمكن حساب طول وتر الدائرة من خلال الصيغ الآتية: طول الوتر = 2 × نصف قطر الدائرة × جا (الزاوية المركزية /2).
- طول الوتر = 2 × نصف قطر الدائرة × جا (الزاوية المحيطية)؛ حيث:
- الزاوية المركزية: هي الزاوية التي يقع رأسها على مركز الدائرة، والمحاطة بنصفين من القطرين المقابلين.
- الزاوية المحيطية: هي الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة، والمحدودة بين وترين.
- قانون حساب مساحة القطاع الدائري: يمكن حساب مساحة القطاع الدائري من خلال الصيغة التالية:
- مساحة القطاع الدائري = (π × مربع نصف القطر / 360) × قياس زاويته المركزية، وبالرموز:
- مساحة القطاع الدائري = (π × نق² / 360) × α؛ حيث:
- نق: نصف قطر الدائرة.
- α: قياس الزاوية المركزية للقطاع الدائري.
- قانون حساب طول القوس الدائري: يمكن حساب طول القوس الدائري بواسطة الصيغة التالية:
- طول القوس الدائري = (π × نق / 180) × α؛ حيث:
- نق: نصف قطر الدائرة.
- α: قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس.
أمثلة على حساب القطاع وقوس الدائرة
- المثال الأول: إذا كان نصف قطر الدائرة يساوي 8م، وقياس الزاوية المركزية للقطاع 45 درجة، احسب مساحة القطاع الدائري وطول القوس. الحل:
- باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري: (π × 8² / 360) × 45 = π × 8. وباستخدام قانون طول القوس: (π × 8 / 180) × 45 = 2π.
- المثال الثاني: إذا كان طول القوس المقابل للقطاع الدائري 12سم، وكانت مساحة هذا القطاع 108سم²، احسب قطر هذه الدائرة. الحل:
- استخدم قانون مساحة القطاع الدائري: 108 = (π × نق² / 360) × α، وباستخدام قانون طول القوس: 12 = (π × نق / 180) × α.
كيفية رسم الدائرة
يستخدم الفرجار عادةً لرسم دائرة دقيقة على سطح ما. الفرجار هو أداة تتكون من ذراعين متصلتين معًا وقابلة للتحرك؛ أحدهما يتضمن رأسًا مدببًا، في حين يتم تثبيت قلم رصاص على الذراع الأخرى. يمكن أيضًا استخدام الفرجار لرسم أجزاء من الدائرة. لرسم دائرة باستخدام الفرجار، يجب اتباع الخطوات التالية:
- التأكد من أن رأس الفرجار ثابتة، لمنع انزلاقه أثناء الاستخدام.
- شد البرغي المثبت للقلم، لتجنب انزلاقه أثناء الرسم.
- يجب أن يكون رأس القلم في نفس مستوى الذراع الأخرى للفرجار.
- يتم تثبيت الرأس المدبب للفرجار على السطح المراد الرسم عليه، وتحريكه بشكل دائري حول رأسه لرسم دائرة أو جزء منها.
- عند الالتزام بنصف قطر معين للدائرة، يجب استخدام المسطرة لضبط قيمة فتحة الفرجار، بحيث تكون بنفس طول نصف القطر المطلوب، ثم يتم تثبيته على السطح لرسم الدائرة.