دراسة شاملة حول الأعداد المركبة

مقدمة عن الأعداد المركبة

تُعرف الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Number) بأنها الأعداد التي تتألف من كل من الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية (بالإنجليزية: Imaginary Number). حيث تُعتبر الأعداد التخيلية الأعداد التي تعطي نتيجة سالبة عند تربيعها، على عكس الأعداد الحقيقية التي يكون فيها مربع أي عدد إيجابي أو سالب ناتجًا موجبًا؛ مثال على ذلك: (-2)²=4، حيث -2×-2=4. وتجدر الإشارة إلى أن جميع الأعداد التخيلية تحتوي عادة على الرمز (i) الذي يمثل الجذر التربيعي للعدد (-1)؛ أي أن: i=√(-1). ومن بين الأمثلة على الأعداد التخيلية: (3i)، (1.04i)، (4/3i)، (-2.8i)، (1998i).

كما تم ذكره سابقًا، تتكون الأعداد المركبة من الأعداد الحقيقية والتخييلية معًا. ومن الأمثلة الشائعة على الأعداد المركبة: (3+i) و (0.8-2.2i) و (√2+i/2). يمكن ملاحظة أن أي جزء من الأعداد المركبة يمكن أن يساوي القيمة صفر، مما يعني أن الأعداد الحقيقية، والأعداد التخيلية هي في الأساس أعداد مركبة؛ إذ إن الأعداد الحقيقية تعتبر أعدادًا مركبة جزؤها التخيلي يساوي صفر، بينما تحتوي الأعداد التخيلية على جزء حقيقي يساوي صفر. لتوضيح ذلك، إليك الجدول التالي الذي يبرز الفروق بين الأجزاء المختلفة للأعداد المركبة:

من المهم أيضًا أن نلاحظ أن مصطلح العدد المركب، أو المعقد، لا يعني أنه مُعقد فعليًا، بل يدل على أنه يشتمل على نوعين من الأعداد: الحقيقية والتخييلية. الجدول التالي يقدم مزيدًا من الأمثلة على الأعداد المركبة وصورتها القياسية كما يلي:

لمزيد من المعلومات حول خصائص الأعداد المركبة، يمكنك الاطلاع على المقال التالي: خصائص الأعداد المركبة.

أهمية دراسة الأعداد المركبة وخصائصها

تحظى الأعداد المركبة بالعديد من التطبيقات في الحياة العملية، حيث تُستخدم بشكل واسع في مجالات الهندسة الكهربائية وميكانيكا الكم. كما تسهم معرفة الأعداد المركبة في حل أي معادلة كثيرة الحدود بغض النظر عن نوعها. على سبيل المثال، المعادلة التربيعية التالية: س²-2س+5=0 لا تملك حلولاً من الأعداد الحقيقية، نظرًا لأن مميزها سلبي. ولكن عندما نستخدم الأعداد المركبة، نجد أن لهذه المعادلة حلين هما: 1+2i و1-2i. ومن المهم الإشارة إلى الخصائص الأساسية للأعداد المركبة:

• i تساوي 1-√.
• i² تساوي (1-√)² = -1.
• i³ تساوي iײi، وبالتالي تُعطى -i.
• i⁴ تساوي ²iײi، مما يعطينا 1.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

توجد العديد من العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها على الأعداد المركبة، وسنوضح كل منها فيما يلي:

• **جمع الأعداد المركبة**: عند جمع عددين مركبين، يجب أولاً جمع الأعداد التخييلية معًا ثم الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، لجمع العددين المركبين: (4+3i) و (2+2i) يتم ذلك كالتالي:
  • مثال: (4+2) + (3i+2i) = 6 + 5i.

• **ضرب الأعداد المركبة**: عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه قليلاً عملية ضرب متعددات الحدود، كما أن نتيجة ضرب عدد تخيلي بآخر دائمًا تعطي عددًا حقيقيًا. يمكن حساب حاصل الضرب (أ+ب*i) × (جـ+د*i) بالطريقة التالية:
  • أ ×(جـ+د*i) + ب*i×(جـ+د*i) =
  • (أ×جـ) + (أ×د)*i + (ب×جـ)*i + (ب×د)*i² =
  • (أ×جـ) + ((أ×د) + (ب×جـ)) *i + (ب×د)*(-1)
  • وبالتالي، فإن حاصل ضرب (أ+ب*i) × (جـ+د*i) يساوي (أ×جـ – ب×د) + (أ×د + ب×جـ)*i.

• **مثال**: ما هو حاصل ضرب (3+2i) في (4-2i)؟
  • الحل:
  • بأستخدام القانون أعلاه، نجد أن: ((3×4) – (2×-2)) + ((3×-2) + (2×4))*i=16 + 2i.

• **قسمة الأعداد المركبة**: ولكن قبل القسمة، يجب الحصول أولاً على الرقم المرافق للعدد المركب، والذي يعرف بأنه نفس العدد المركب ولكن مع عكس الإشارة في الجزء التخيلي. لذا يكون للعدد المرافق للعدد (أ+ب*i) هو (أ-ب*i). بحيث يبقى الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي كما هو، بينما يتغير الجزء الذي يمثل العدد التخيلي.

يمكن استخدام العدد المرافق لتسهيل القسمة بين الأعداد المركبة. حيث تُكتب الأعداد المركبة على شكل كسر، ثم نضرب كلاً من البسط والمقام بالعدد المرافق للعدد الموجود في المقام. إليك مثال لتوضيح ذلك:

• **مثال**: ناتج قسمة 2+3i على 4-5i؟
  • الحل:
  • بضرب البسط والمقام بالعدد (4+5*i)، نصل إلى أن الناتج هو (-7+22i)/41، والذي يمكن كتابته بالشكل القياسي كالتالي: (-7/41) + (22/41)i.

تمثيل الأعداد المركبة بيانياً

يمكن تمثيل الأعداد المركبة عبر رسمها على المستوى الإحداثي ثنائي الأبعاد، حيث يمتد المحوران العمودي والأفقي. يُمثل الجزء التخيلي من العدد المركب على المحور العمودي، بينما يمثل الجزء الحقيقي على المحور الأفقي، مما يشكل مجموعة من النقاط على المستوى، وكل نقطة تشير إلى عدد مركب معين.

أمثلة متنوعة حول الأعداد المركبة

• **المثال الأول**: احسب الجزء الذي يمثل العدد التخيلي والجزء الذي يمثل العدد الحقيقي في العدد المركب: i-19-14؟
  • الحل:
  • الجزء التخيلي هو -19، والجزء الحقيقي هو 14.

• **المثال الثاني**: ما هو ناتج ضرب 3i في 4i؟
  • الحل:
  • حيث أن قيمة i² تساوي -1، وبالتالي: (3×4)×i² يساوي 12×-1 = -12.

• **المثال الثالث**: اكتب القيم الآتية باستخدام الرمز i:
  أ) -√1 ب) -√9؟
  • الحل:
  • بما أن -√1 = i، إذًا:
    • أ) -√1 = i.
    • ب) -√9 = -√1×√9 = 3i.

• **المثال الرابع**: ما هو ناتج العدد المركب: i + i² + i³ + i⁴؟
  • الحل:
  • بما أن i² = -1، وi⁴ = 1، وi³ = -i، نعوض للحصول على: -1 – i + 1 = 0.

• **المثال الخامس**: إذا كانت س = 1+2i، فما هي قيمة س³ + 2س² + 4س + 25؟
  • الحل:
  • س³ = 3(1+2i) = -11 – 2i;
    2س² = 2ײ(1+2i) = 2×(-3 + 4i) = -6 + 8i;
    4س = 4×(1+2i) = 4 + 8i;
    وبإجمال ما سبق، نصل إلى: (-11 – 2i) + (6 + 8i) + (4 + 8i) + 25 = 12 + 14i.

• **المثال السادس**: ما هو ناتج جمع الأعداد المركبة (3+2i) و (1+7i)؟
  • الحل:
  • يتم الجمع بجمع الأجزاء الحقيقية مع بعضها، والأجزاء التخييلية مع بعضها كما يلي:
    • (3+1)+(2+7)i = 4 + 9i.

• **المثال السابع**: ما هو ناتج جمع الأعداد المركبة: أ) (-4+7i) و (5-10i) ب) (4+12i) و -(3-15i) ج) 5i و -(-9 + i)؟
  • الحل:
  • لنقوم بجمع الأجزاء الحقيقية وتلك التخييلية:
    • أ) (5-4) + (-10 + 7)i = 1 – 3i.
    • ب) (4-3) + (12 + 15)i = 1 + 27i.
    • جـ) (9+0) + (5-1)i = 9 + 4i.

• **المثال الثامن**: ما هو ناتج ضرب: أ) (1-5i) في (-9+2i) ب) (1-8i) في (1+8i)؟
  • الحل:
  • باستخدام قواعد ضرب الأعداد المركبة:
    • أ) -9 – 2i + i45 + 10²i = -9 – (47i + 10×-1) = 1 + 47i.
    • ب) 1-8i – i8 + 64i = 1 + 64 = 65.

• **المثال التاسع**: اختصر القيم الآتية إلى أبسط صورة: أ) 5i – 16i ب) (17)i ج) (120)i؟
  • الحل:
  • أ) يتم تجميع الحدود المتشابهة كالتالي: (16-5)i = 11i.
  • ب) 17i تساوي 16i + i، وتعطي (4×4+1)i = i.
  • ج) i 120 تساوي i 4×30 + 0، أي تساوي i 0، وبالتالي تساوي 1.

• **المثال العاشر**: ما هو العدد المرافق للأعداد المركبة التالية: أ) 2+5√i ب) -1/2i ؟
  • الحل:
  • العدد المرافق يُحصل عليه من خلال إبقاء الجزء الحقيقي وكسر إشارة الجزء التخيلي، وبالتالي العدد المرافق للعددين السابقين هو:
    • أ) 2-5√i.
    • ب) 1/2i.

فيديو تعريفي حول مجموعات الأعداد

للتعرف على المزيد، تابع الفيديو التالي:

1. ^ أ ب ت ث ج ح “الأعداد المركبة”، www.mathsisfun.com، تاريخ الاسترجاع 19-7-2020. تم التعديل.
2. ^ أ ب “مقدمة في الأعداد المركبة”، www.khanacademy.org، تاريخ الاسترجاع 20-7-2020. تم التعديل.
3. ↑ “العدد التخيلي”، brilliant.org، تاريخ الاسترجاع 20-7-2020. تم التعديل.
4. ^ أ ب ت “الأعداد المركبة”، brilliant.org، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
5. ↑ “تعريف العدد المركب”، whatis.techtarget.com، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
6. ↑ “أجزاء الأعداد المركبة”، www.khanacademy.org، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
7. ^ أ ب “الأعداد المركبة أو التخيلية”، themathpage.com، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
8. ^ أ ب “الأعداد المركبة”، tutorial.math.lamar.edu، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
9. ↑ “مقدمة حول الأعداد المركبة”، www.purplemath.com، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
10. ↑ “الأعداد المركبة”، openstax.org، تاريخ الاسترجاع 24-7-2020. تم التعديل.
11. ↑ فيديو تعريفي عن مجموعات الأعداد.