تحليل المعادلة التربيعية وفهم أساليب حلها

أساليب تحليل المعادلة التربيعية

تعرف المعادلة التربيعية (Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي يمكن التعبير عنها بالصيغة العامة التالية:

أ س² + ب س + ج = 0

حيث أن:

أ، ب، ج تمثل أعدادًا قابلة لأن تكون موجبة أو سالبة، وقد يمكن أن تكون الأعداد (ب، ج) صفرًا. ويُدعى الرقم أ معامل س²، بينما ب معامل س، وج هو الحد الثابت. القيمة القصوى لأس المتغيرة س في المعادلة التربيعية هي 2. ومن الأمثلة على المعادلات التربيعية:
س² – 7 س + 11.
4 س² + 3 س – 1.
س² + 8 س.
3 س² + 2.

أما بالنسبة لعملية تحليل المعادلة التربيعية للعوامل، فإن ذلك يعني تحويل المعادلة التربيعية إلى شكل حاصل ضرب حدين أو أكثر بأبسط صورة. وفيما يلي أمثلة توضح كيفية تحليل العوامل:

يمكن تمثيل المعادلة التربيعية 2 س² + 10 س بالشكل التالي: 2 س (س + 5)؛ حيث تم أخذ 2 س كعامل مشترك، مما جعل المعادلة تعادل حاصل ضرب 2 س في (س + 5).
مثال آخر هو المعادلة التربيعية س² – 16 التي يمكن تمثيلها بالشكل: (س – 4)(س + 4).

أسلوب التخمين

تستخدم هذه الطريقة لتحليل المعادلات التربيعية عند أخذ الشكل القياسي: أ س² + ب س + ج = 0 عن طريق إيجاد عددين مجموعهما هو ب، وناتج ضربهما هو أ × ج. في بعض الأحيان، قد تكون المعادلة التربيعية أكثر تعقيدًا، مما يتطلب استخدام طرق إضافية مثل الصيغة العامة أو إكمال المربع. وفيما يلي توضيح لاستخدام أسلوب التخمين لتحليل المعادلة التربيعية:

عندما يكون (أ) يساوي 1

يمكن تحليل المعادلة التربيعية عندما يكون أ = 1 بالطريقة التالية:

إيجاد عددين مجموعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي ج.
كتابة المعادلة التربيعية على شكل: (س + ك)(س + ل)؛ حيث يمثل ك، ل العددين اللذين تم إيجادهما في الخطوة السابقة. على سبيل المثال، إذا كان العددان هما 1 و-2، فإن المعادلة التربيعية تُكتب على الشكل (س + 1)(س – 2).

على سبيل المثال، لتحليل المعادلة: س² + س – 6 = 0، أولاً نقوم بتخمين العددين اللذين مجموعهما 1، وناتج ضربهما هو -6، وهما: -2 و3، ثم نكتب المعادلة بالشكل: (س + ك)(س + ل)، وذلك كما يلي: س² + س – 6 = (س – 2)(س + 3) = 0.

عندما يكون (أ) لا يساوي 1

يمكن تحليل المعادلة التربيعية عندما يكون أ ≠ 1 بهذه الطريقة:

إيجاد ناتج ضرب أ × ج.
إيجاد عددين مجموعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ × ج، ولنفرض أن العددين هما ك، ل.
استبدال العددين في ب على شكل حاصل جمع عددين مضروبين في س؛ أي استبدال الحد (ب س) بـ (ك + ل) س، مما يجعل المعادلة على الشكل: أ س² + (ك + ل) س + ج = 0، وبذلك تصبح: أ س² + ك س + ل س + ج = 0 بعد فك الأقواس.
تحليل أول حدين (أ س² + ك س)، من خلال أخذ العامل المشترك بينهما، ثم تحليل الحدين الأخيرين (ل س + ج) أيضًا بأخذ العامل المشترك.
جمع العوامل المشتركة لكتابة المعادلة التربيعية على شكل حاصل ضرب حدين.

على سبيل المثال لتحليل المعادلة: 4 س² + 15 س + 9 = 0، أولًا نوجد ناتج الضرب 4 × 9 = 36، ثم نبحث عن عدديْن مجموعها 15 وناتج ضربهما 36، وهما 3 و12، ثم نكتب المعادلة كالتالي: 4 س² + 3 س + 12 س + 9 = 0، وبعد ذلك نحلل أول حدين بأخذ س كعامل مشترك، وآخر الحدين بأخذ 3 كعامل مشترك، فتكون كما يلي: س(4 س + 3) + 3(4 س + 3) = 0، ثم نجد (4 س + 3) كعامل مشترك ونكتب المعادلة كالتالي: (4 س + 3)(س + 3) = 0.

الفرق بين مربعين

يمثل الفرق بين مربعين طرح مربع عدد أو متغير من مربع عدد أو متغير آخر، وهي حالة خاصة من المعادلات التربيعية، وصيغتها العامة هي: أ² – ب²؛ مثل: س² – 36، ويمكن تحليلها كالتالي:

أ² – ب² = (أ + ب)(أ – ب)

حيث أن:
- أ: الجذر التربيعي للحد الأول.
- ب: الجذر التربيعي للحد الثاني.
على سبيل المثال، لتحليل المعادلة س² – 16، يمكن أن تُكتب بعد أخذ الجذر التربيعي للحدين بالشكل: س² – 16 = (س – 4)(س + 4)، ولتحليل 4 س² – 36 يمكن كتابتها بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول والثاني بالشكل: (2 س – 6)(2 س + 6) = 0.

استخدام الصيغة العامة

تُستخدم الصيغة العامة عندما تفشل الطرق السابقة في تحليل المعادلة التربيعية، والشكل العام للصيغة هو:

س = (-ب ± (ب² – 4 أ ج) √) / 2 أ

تستخدم هذه الصيغة للحصول على حلين؛ الأول (س +) والثاني (س -)، وهو ما تعبر عنه إشارة ±، كما تُستخدم في كتابة المعادلة بالشكل: أ(س – س -)(س – س +).
على سبيل المثال، لتحليل المعادلة: 6 س² + 5 س – 6، نقوم بتعويض أ = 6، ب = 5، ج = -6، في معادلة الصيغة العامة لنحصل على: س = (-5 ± (5² – 4×6×-6)√) / (2×6)، ومن ثم: س = -5 ± 12/13، وبالتالي: س – = 18/12 – 3/2 -، س + = 8/12 = 2/3، ثم نقوم بتعويض هاتين القيمتين لكتابة المعادلة التربيعية على الشكل: أ(س – س -)(س – س +)، مما يؤدي إلى: 6 س² + 5 س – 6 = 6(س + 3/2)(س – 2/3)، وبعد ذلك يمكن كتابة المعادلة بشكل آخر لنحصل على: 6 س² + 5 س – 6 = 6(س + 3/2)(س – 2/3) = 2 × (س + 3/2) × 3 × (س – 2/3) = (3 س – 2)(2 س + 3).

استخدام إكمال المربع

يمكننا اللجوء إلى طريقة إكمال المربع عندما لا تكون المعادلة مربعًا كاملًا، ولا يمكن حلها بالطرق السابقة. والإجراءات المطلوبة لإكمال المربع هي كما يلي:

نقوم بإضافة وطرح (ب/2)² على المعادلة أ س² + ب س + ج = 0. على سبيل المثال، في المعادلة س² + 6 س + 7 = 0، فإن (ب/2)² = (2/6)² = 9.
يصبح شكل المعادلة: أ س² + ب س + (ب/2)² – (ب/2)² + ج = 0، أي تصبح المعادلة السابقة س² + 6 س + 9 – 9 + 7 = 0.
نعيد ترتيب شكل المعادلة لتصبح: (س + (ب/2))² – ((ب/2)² – ج) = 0؛ أي تصبح المعادلة السابقة (س + 3)² – 2 = 0، وتساوي (س + 3)² = 2.
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين، فتكون المعادلة س + 3 = √2 أو س + 3 = -√2.
نحصل على قيمة س، كحل للمعادلة، س = -3 ± √2.

مثال: يمكن حل المعادلة التالية باستخدام إكمال المربع: س² + 2 س – 3 = 0، كما يلي:

حيث أن (ب/2)² = (2/2)² = 1، سنقوم بإضافة وطرح 1 للمعادلة.
تصبح المعادلة كالتالي: س² + 2 س + 1 – 1 – 3 = 0.
يمكن إعادة كتابة المعادلة كما يلي: س² + 2 س + 1 = 4.
وبذلك يصبح الشكل النهائي للمعادلة: (س + 1)² = 4.
نأخذ الجذر للطرفين، فتكون المعادلة س + 1 = 2 أو س + 1 = -2.
الحل هو: س = 1 أو س = -3.

أشكال خاصة للمعادلة التربيعية

تتعدد أشكال المعادلة التربيعية في حالة كان أحد المعاملات يساوي صفر، فإذا كانت قيمة أ تساوي صفر، فإن المعادلة ستصبح خطية، وإذا كانت قيمة ب تساوي صفر، سيكون للمعادلة حلان متساويان في القيمة ومختلفان في الإشارة. إذا كانت قيمة ج تساوي صفر، يمكن حلها بإخراج عامل مشترك وإكمال الحل كمعادلة خطية. وفيما يلي بيان لطرق حل هذه الأشكال الخاصة للمعادلات التربيعية:

عندما تكون أ تساوي صفر

إذا كانت قيمة أ = 0، فإن قيمة س² ستصبح صفرًا، وبالتالي ستتحول المعادلة إلى الشكل ب س + ج = 0، وهي معادلة خطية وليست تربيعية. يمكن حلها من خلال الخطوات التالية:

نقل الثابت ج إلى الطرف الثاني، ليبقى المتغير على طرف واحد.
القسمة على معامل س (ب) لكلا الطرفين للحصول على قيمة س.

مثال: يمكن حل المعادلة الخطية التالية: 5 س + 20 = 0، على النحو التالي:

ننقل ج إلى الطرف الثاني بالتالي نحصل على 5 س = -20.
ثم نقسم على معامل س (5) لنصل إلى س = -20/5.
وبالتالي س = -4.

عندما تكون ب تساوي صفر

إذا كانت قيمة ب تساوي صفر، فإن (ب س) ستصبح صفرًا، وبالتالي سيتشكل المعادلة على الشكل س² + ج = 0. وسيكون لها حلان متساويان في القيمة ومختلفان في الإشارة. يمكن حل المعادلة من خلال الخطوات التالية:

نقل ج إلى الطرف الآخر من خلال إضافته أو طرحه.
قسمة الطرفين على معامل س² (أ).
أخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على قيمة س.

مثال: يمكن حل المعادلة التالية: 2 س² – 30 = 0، باتباع الخطوات التالية:

ننقل 30 للطرف الثاني بإجراء عملية الطرح، مما يؤدي إلى 2 س² = 30.
نقسم كلا الطرفين على 2، فتظهر المعادلة س² = 30/2.
ثم نقوم بأخذ الجذر للطرفين.
إذًا س = ±√15.

عندما تكون ج تساوي صفر

إذا كانت قيمة ج تساوي صفر، فإن شكل المعادلة يصبح كالآتي: س² + ب س = 0، ولها حلان، ويمكن حلها عن طريق الخطوات التالية:

نأخذ س كعامل مشترك لنكتبها كالتالي: س (س + ب) = 0.
وبالتالي لدينا س = 0 أو س + ب = 0، أي س = – ب/أ.

مثال: يمكن حل المعادلة س² – 81 س = 0، كما يلي:

نأخذ س كعامل مشترك، وبالتالي تصبح المعادلة على الشكل س (س – 81) = 0.
وعليه، س = 0 أو س – 81 = 0.
إذًا، س = 81.

أمثلة على تحليل المعادلة التربيعية

وفيما يلي بعض الأمثلة على طرق حل المعادلة التربيعية:

حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التخمين

مثال (1): يمكن حل المعادلة التربيعية التالية: س² + 4 س + 3 = 0 باستخدام طريقة التخمين، كما يلي:

إيجاد عددين مجموعها 4 وناتج ضربهما 3، وهما 1 و3.
تكتب المعادلة بالشكل: (س + 1)(س + 3) = 0.
وبالتالي س = -1 أو س = -3.

مثال (2): يمكن حل المعادلة التالية: 6 س² + 1 س – 2 = 0 باستخدام طريقة التخمين، كما يلي:

نوجد حاصل الضرب: -2 × 6 = -12.
ثم نجد عددين مجموعهما 1 وناتج ضربهما -12، وهما 4 و-3.
نعوض العددين في المعادلة: 6 س² + (4 – 3) س – 2 = 0، ومن ثم: 6 س² + 4 س – 3 س – 2 = 0.
نحلل أول حدين بأخذ 2 س كعامل مشترك: 2 س (3 س + 2) – (3 س + 2) = 0.
وبالتالي نقوم بإخراج (3 س + 2) كعامل مشترك، لتصبح: (3 س + 2)(2 س – 1) = 0.
ومن ثم، إما س = 1/2 أو س = -2/3.

حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة الفرق بين مربعين

يمكننا حل المعادلة التربيعية التالية: (س² – 81) = 0 باستخدام الفرق بين مربعين، كما يلي:

نحلل المعادلة لنكتبها على الشكل: (س – 9)(س + 9) حيث أن ضرب -9 و9 يعادل 81 وجمع 9 و-9 يعادل صفر.
ومن ثم، إما س = 9 أو س = -9.

حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العامة

يمكننا حل المعادلة التالية باستخدام الصيغة العامة: 2 س² + 9 س – 18 = 0، كما يلي:

حيث أ = 2، ب = 9، ج = -18.
طبقًا للقانون العام: س = (-ب ± (ب² – 4 أ ج)√) / 2 أ.
س = (-9 ± (9² – 4 × 2 × -18)√) / (2 × 2).
س = (-9 ± (225√)) / 4.
س = (-9 ± 15) / 4.
وبالتالي، إما س = -6 أو س = 3/2.

حل المعادلة التربيعية باستخدام إكمال المربع

يمكننا حل المعادلة التالية باستخدام إكمال المربع: س² + 6 س – 2 = 0، كما يلي:

نحسب ب/2، وتساوي 2/6 = 3.
ننقل ج للطرف الآخر بإضافة +2 للطرفين، تصبح المعادلة كالتالي: س² + 6 س = 2.
نوجد قيمة (ب/2)² والتي تساوي (6/2)² = 9.
بعد إضافة وطرح 9 للطرفين تصبح المعادلة كما يلي: س² + 6 س + 9 = 11.
وبهذا تصبح المعادلة (س + 3)(س + 3) = 11، وهي تكتب على شكل (س + 3)² = 11.
نأخذ الجذر للطرفين، فتكون المعادلة س = √11 – 3 أو س = -√11 – 3.

حل المعادلة التربيعية عندما يكون ب يساوي صفر

يمكننا حل المعادلة التربيعية 6 س² + ب س – 42 = 0، إذا كانت قيمة ب = 0، عبر الخطوات التالية:

استبدال قيمة ب في المعادلة، لتحصل على: 6 س² – 42 = 0.
نقل 42 للطرف الثاني بجمعه، مما يؤدي إلى 6 س² = 42.
نقسم الطرفين على 6، لتحصل على س² = 42/6.
نأخذ الجذر للطرفين.
إذًا قيمة س هي: س = ±√7.

حل المعادلة التربيعية عندما يكون ج يساوي صفر

يمكننا حل المعادلة: 2 ص² + 6 ص = 0، كما يلي:

نأخذ ص كعامل مشترك لنكتبها على الشكل: ص (2 ص + 6) = 0.
وعليه، إما ص = 0 أو (2 ص + 6) = 0.
نقوم بنقل 6 للطرف الثاني بطرحها من الطرفين، لتصبح 2 ص = -6.
نقسم على 2 للطرفين، لتظهر القيمة الأخرى كـ ص = -3.
إذًا، ص = -3 أو ص = 0.

تُعرف المعادلة التربيعية بأنها المعادلة المكتوبة على شكل أ س² + ب س + ج = 0، وتوجد طرق متعددة لحلها، منها طريقة التخمين التي تعتمد على قيمة معامل س²، أ، إن كانت تساوي 1 أو لا، كما توجد طريقة إكمال المربع التي تمكننا من كتابة المعادلة كصيغة مربع كامل وإيجاد الحلول لقيم س، وأيضًا طريقة الصيغة العامة التي تعتمد على تحديد قيم أ، ب، ج ثم تطبيق الخوارزمية لاستخراج قيم س في المعادلة.