تحليل مجموع مكعبين من الأعداد

مقدمة عن تحليل مجموع المكعبات

يمكن تعريف مجموع المكعبات (بالإنجليزية: Sum of Cubes) ككثير حدود يتخذ الشكل: أ³ + ب³. يتميز هذا التعبير بكونه يتكون من حدين مرتبطين بعلامة الجمع، حيث يتم رفع كل حد منهما إلى القوة الثالثة. من المهم ملاحظة أن كلا الحدين هنا يمتلكان نفس علامة الإشارة، وهو ما يختلف عن الفرق بين المكعبات.

للمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين المكعبات، يمكنك الاطلاع على المقال التالي: تحليل الفرق بين مكعبين.

طريقة تحليل مجموع المكعبات

يمكننا تحليل مجموع المكعبات باستخدام المعادلة التالية:

• س³ + ص³ = (س + ص)(س² – س ص + ص²)؛ حيث يمثل س الحد الأول، وص الحد الثاني. لنوضح هذه العملية من خلال خطوات تحليل كثير الحدود التالي إلى عوامله الأولية: س³ + 27:
• الخطوة الأولى: نبدأ بكتابة قوسين بحيث يضم القوس الأصغر حدين، بينما يتضمن القوس الأكبر ثلاثة حدود كما يلي: ( )( ).
• الخطوة الثانية: نحسب الجذر التكعيبي لكل من الحدين، ثم نكتب النتائج في القوس الأول: (س 3)( ).
• الخطوة الثالثة: نحسب مربع كل من العددين الموجودين في القوس الأول، ونضع النتائج في الجزء الأول وآخر جزء من القوس الثاني كما يلي: ( س 3)(س² 9).
• الخطوة الرابعة: نوجد الحد الأوسط من القوس الثاني، والذي يساوي ناتج ضرب الحدين الأولين في القوس الأول كما يلي: (س 3)(س² 3س 9).
• الخطوة الخامسة: نضع الإشارات المناسبة وفقًا لقاعدة (نفس، عكس، دائمًا موجب)، وتعني ما يلي:
  • نفس: إشارة القوس الأول تتبع إشارة كثير الحدود.
  • عكس: الإشارة الأولى في القوس الثاني تعكس إشارة كثير الحدود.
  • دائمًا موجب: الإشارة الثانية في القوس الثاني يجب أن تكون دائمًا موجبة.
  • وبالتالي، فإن تحليل كثير الحدود هنا يكون: س³ + 27 = (س + 3)(س² – 3س + 9).

أمثلة توضيحية على تحليل مجموع المكعبات

• المثال الأول: حلل العناصر التالية إلى عوامله الأولية: 27س³ + 1.
  • الحل: نستخدم الصيغة: س³ + ص³ = (س + ص)(س² – س ص + ص²)، وعند تطبيقها على كثير الحدود السابق نجد:
    • القوس الأول يمثل مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، فيكون (3س + 1).
    • عند تطبيق الصيغة على القوس الثاني نحصل على (9س² – 3س + 1).
  • وبذلك، العوامل الأولية لكثير الحدود: 27س³ + 1 هي: (3س + 1)(9س² – 3س + 1).

ملاحظة: العدد 1 يعتبر عنصرًا محايدًا لعملية الضرب، لذا فإن الجذر التكعيبي له يساوي 1.

• المثال الثاني: حلل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ + 125.
  • الحل: باستخدام صيغة تحليل مجموع المكعبات (س + ص)(س² – س ص + ص²)، نجد أن:
  • س³ + 125 = (س + 5)(س² – 5س + 25).

• المثال الثالث: حلل العناصر التالية: 2س³ + 128ص³.
  • الحل: نلاحظ أن الحدين الأول والثاني لا يشكلان مكعبًا كاملًا، لذا يجب إخراج العامل المشترك الأكبر قبل تطبيق قانون تحليل مجموع المكعبات. العامل المشترك الأكبر هنا هو العدد 2، وبإخراجه يصبح التعبير كالتالي: 2(س³ + 64ص³).
  • بالتالي، عند تطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبات، نحصل على: (س³ + 64ص³) = (س + 4ص)(س² – 4س ص + 16ص²)، وعوامل 2س³ + 128ص³ هي: 2(س + 4ص)(س² – 4س ص + 16ص²).

• المثال الرابع: حلل العناصر التالية: 64س³ + 125.
  • الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبات، نجد:
  • 64س³ + 125 = (4س + 5)(16س² – 20س + 25).

ملاحظة: القوس الثاني يمثل كثير حدود من الدرجة الثانية، ولا يمكن تحليله أكثر من ذلك.

• المثال الخامس: حلل العناصر التالية: 5س³ + 625.
  • الحل: نلاحظ أن الحدين لا يشكلان مكعبًا كاملًا، لذا نخرج العامل المشترك الأكبر، وهو 5، فيصبح الصيغة: 5(س³ + 125).
  • ثم نطبق صيغة تحليل مجموع المكعبات لنحصل على: 5(س³ + 125) = 5(س + 5)(س² – 5س + 25).

• المثال السادس: حلل ما يلي: س³ + 8ص³.
  • الحل: هنا يعد كثير الحدود مجموع مكعبات، حيث أ = س، وب = 2ص. يمكن تحليله باستخدام الصيغة: س³ + ص³ = (س + ص)(س² – س ص + ص²)، لنحصل على:
    • العامل الأول: (س + 2ص).
    • العامل الثاني: (س² – 2س ص + 4ص²).
  • إذن، عوامل س³ + 8ص³ هي: (س + 2ص)(س² – 2س ص + 4ص²).

• المثال السابع: حلل ما يلي: 16م³ + 54ن³.
  • الحل: يمكن استخلاص عامل مشترك، فيصبح: 16م³ + 54ن³ = 2(8م³ + 27ن³). بعد ذلك، نحلل (8م³ + 27ن³) باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبات:
    • العامل الأول: (2م + 3ن).
    • العامل الثاني: (4م² – 6م ن + 9ن²).
  • لذا، العوامل النهائية هي: 2(2م + 3ن)(4م² – 6م ن + 9ن²).

• المثال الثامن: حلل ما يلي: 3س⁵ + 3س².
  • الحل: نلاحظ أن الحدين لا يشكلان مكعبًا كاملًا، لذلك بحاجة إلى إخراج 3س² كعامل مشترك فيصبح:
    • 3س⁵ + 3س² = 3س²(س³ + 1).
  • نحلل (س³ + 1) باستخدام الصيغة لنحصل على:
    • العامل الأول: (س + 1).
    • العامل الثاني: (س² – س + 1).
  • وبذلك تكون العوامل لـ 3س⁵ + 3س² هي: 3س²(س + 1)(س² – س + 1).

• المثال التاسع: حلل ما يلي: 54س⁷ + 16س.
  • الحل: يظهر أن الحدين لا يشكلان مكعبًا كاملًا، لذا نستخرج 2س كعامل مشترك، كالتالي:
    • 54س⁷ + 16س = 2س(27س⁶ + 8).
  • ثم، نقوم بتحليل (27س⁶ + 8) إلى عوامله باستخدام الصيغة:
    • العامل الأول: (3س² + 2).
    • العامل الثاني: (9س⁴ – 6س² + 4).
  • إذًا، العوامل هنا هي: 2س(3س² + 2)(9س⁴ – 6س² + 4).

• المثال العاشر: حلل ما يلي: س³ + ص³.
  • الحل: باستخدام صيغة تحليل مجموع المكعبات (س + ص)(س² – س ص + ص²)، نحصل على:
  • س³ + ص³ = (س + ص)(س² – س ص + ص²).

• المثال الحادي عشر: حلل ما يلي: 3س⁶ + 81ص⁶.
  • الحل: لاحظنا أن كلا الحدين لا يشكلان مكعبًا كاملًا، لذا نخرج العدد 3 كعامل مشترك كما يلي:
    • 3س⁶ + 81ص⁶ = 3(س⁶ + 27ص⁶).
  • ثم، نقوم بتحليل (س⁶ + 27ص⁶) باستخدام الصيغة العامة للحصول على:
    • العامل الأول: (س² + 3ص²).
    • العامل الثاني: (س⁴ – 3س² ص² + 9ص⁴).
  • لذا، العوامل النهائية لـ 3س⁶ + 81ص⁶ هي: 3(س² + 3ص²)(س⁴ – 3س² ص² + 9ص⁴).

للمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين المربعات، يمكنك الذهاب إلى المقال التالي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين. كما يمكنك الاطلاع على كيفية حل المعادلات من الدرجة الثالثة في المقال التالي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.