دراسة حول خصائص المثلثات المتطابقة

تعريف المثلثات المتطابقة

المثلث هو شكل ثنائي الأبعاد يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وثلاث رؤوس. يُعتبر مثلثان متطابقين إذا كانا متساويين في الشكل والحجم، مما يعني أن أضلاعهما وزواياهما المتقابلة متطابقة.

يتم الإشارة إلى تطابق المثلثات باستخدام الرمز (≅). على سبيل المثال، Δأ ب جـ ≅ Δد هـ و، ويُعبّر عن ذلك بمصطلح (CPCT)، وهو اختصار لـ (Corresponding Parts of Congruent Triangles)، مما يعني الأجزاء المتقابلة في المثلثات المتطابقة.

حالات تطابق المثلثات

تتحقق حالة تطابق مثلثين عندما تتوافر إحدى الحالات التالية:

تطابق أطوال الأضلاع الثلاثة

يتطابق مثلثان إذا كانت أطوال أضلاع المثلث الأول متساوية مع أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلث الثاني. تُرمز هذه الحالة بـ (SSS: Side-Side-Side). عندما يتطابق مثلثان وفقًا لهذه الحالة، فإن زواياهما المتقابلة يجب أيضًا أن تكون متساوية.

تطابق طول ضلعين وزاوية بينهما

يتطابق مثلثان إذا كان طول ضلعين وقياس الزاوية بينهما في المثلث الأول متساويين مع نظائرهم في المثلث الثاني. يُرمز لهذه الحالة بـ (ASA: Angle-Side-Angle). في مثل هذه الحالة، يجب أن يتساوى الضلع الثالث وزواياه الأخرى في كلا المثلثين.

تطابق قياس زاويتين وطول الضلع بينهما

يتطابق مثلثان إذا كان قياس أي زاويتين وطول الضلع بينهما في المثلث الأول مساويًا لنظائره في المثلث الثاني. تُرمز لهذه الحالة أيضًا بـ (ASA: Angle-Side-Angle). يجب أن تتساوى الزاوية الثالثة وطول الضلعين الآخرين في المثلثين.

تطابق قياس زاويتين وطول الضلع المقابل لإحداهما

يتطابق مثلثان إذا كان قياس زاويتين وطول الضلع المقابل لأحد هذه الزوايا في المثلث الأول متساويًا مع نظائره في المثلث الثاني. تُرمز هذه الحالة بـ (AAS: Angle-Angle-Side Criterion). كما يجب أن تتساوى الزاوية الثالثة وطول الضلعين الآخرين في كلا المثلثين.

تطابق طول الوتر وطول أحد الأضلاع

يتطابق مثلثان إذا كان طول الوتر في مثلث قائم الزاوية الأول وطول أحد أضلاعه متساويين مع طول الوتر في مثلث قائم الزاوية الثاني وأحد أضلاعه. تُرمز لهذه الحالة بـ (RHS: right angle-hypotenuse-side). ويجب أن يتساوى طول الضلع الثالث والزوايا الأخرى في كلا المثلثين.

خصائص المثلثات المتطابقة

تمتاز المثلثات المتطابقة بعدة خصائص، منها:

• عندما يتطابق مثلثان، تكون جميع أطوال أضلاعهما وقياسات زواياهما متطابقة، مما يُمكن من حساب أي طول أو زاوية غير معروفة بناءً على الآخر.
• تمتلك المثلثات المتطابقة خصائص مشابهة في جميع النواحي، بما في ذلك المساحة والمحيط والمراكز والدوائر المرتبطة بها وغير ذلك.

تمارين تطبيقية على المثلثات المتطابقة

إليك بعض التمارين المتعلقة بالمثلثات المتطابقة:

المثال الأول: إذا كانت أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ هي: أب= 4 سم، وب جـ= 5 سم، وجـ أ= 6 سم، وأطوال أضلاع المثلث د هـ و هي: د هـ= 4 سم، وهـ و= 5 سم، وو د= 6 سم، هل يتطابق المثلث أ ب جـ مع المثلث د هـ و؟

الحل:

من المعطيات، نستنتج ما يلي:

• طول الضلع أ ب= طول الضلع د هـ = 4 سم.
• طول الضلع ب جـ= طول الضلع هـ و= 5 سم.
• طول الضلع جـ أ= طول الضلع و د= 6 سم.

نظرًا لأن جميع أطوال أضلاع المثلث أ ب جـ مساوية لمثيلاتها في المثلث د هـ و، فإن المثلثان متطابقان، وذلك وفقًا للحالة الأولى من حالات تطابق المثلثات.

المثال الثاني: إذا كان المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب ويتطابق مع المثلث هـ و د القائم الزاوية في و، وكان طول الضلع أ ب= 3 سم، والضلع ب جـ= 4 سم، والضلع أ جـ = 5 سم، فما هو طول الوتر في المثلث هـ و د؟

الحل:

• بما أن المثلثين متطابقان، تكون جميع أطوال أضلاعهما متساوية، لذا يكون طول الوتر في المثلث أ ب جـ مساويًا لطول الوتر في المثلث هـ و د.
• لذلك: الوتر أ جـ = الوتر هـ د = 5 سم.

المثال الثالث: إذا كان طول الضلع أب في المثلث أ ب جـ هو 7 سم، والضلع ب جـ= 8 سم، وزاوية ب = 60 درجة، وفي المثلث د هـ و، طول ضلع د هـ= 7 سم، وهـ = 8 سم، وزاوية هـ = 60 درجة، هل يتطابق المثلث أ ب جـ مع المثلث د هـ و؟

الحل:

من المعطيات نستنتج:

• طول الضلع أ ب= طول الضلع د هـ = 7 سم.
• طول الضلع ب جـ= طول الضلع هـ و= 8 سم.
• ∠ب = ∠هـ = 60 درجة.

نظرًا لأن طول الضلعين وزاوية بينهما في المثلث أ ب جـ متساوية مع مثيلاتها في المثلث د هـ و، فإن المثلثين متطابقان حسب شرط الضلعين وزاوية.

المثال الرابع: إذا كانت قياسات الزوايا في المثلث أ ب جـ هي: ∠ب= 90 درجة،∠أ= 60 درجة،∠جـ= 30 درجة، والمثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب يتطابق مع المثلث د هـ و القائم الزاوية في هـ، فما هي قياسات زوايا المثلث د هـ و؟

الحل:

نظرًا لأن المثلثين متطابقان، فإن جميع الزوايا في كلا المثلثين متساوية، وبالتالي:

• ∠أ = ∠د = 60 درجة.
• ∠ب = ∠هـ = 90 درجة.
• ∠جـ = ∠و = 30 درجة.

المثال الخامس: إذا كان في المثلث (أ ب جـ) طول الضلع ب جـ= 12 سم، و∠ب = 60 درجة، و∠جـ = 30 درجة، وفي المثلث (د هـ و) طول ضلع هـ و= 12 سم، و∠هـ = 60 درجة، و∠و = 30 درجة، هل يتطابق المثلث أ ب جـ مع المثلث د هـ و؟

الحل:

من المعطيات نستنتج:

• طول الضلع ب جـ= طول الضلع هـ و = 12 سم.
• ∠ب = ∠هـ = 60 درجة.
• ∠جـ = ∠و = 30 درجة.

وبما أن قياسات الزوايا وطول الضلع بينهما في المثلث أ ب جـ متساوية مع مثيلاتها في المثلث د هـ و، فإن المثلثين متطابقان.