دراسة حول كثيرات الحدود ومفاهيمها

ما هو كثير الحدود؟

كثيرات الحدود، أو ما يعرف باللغة الإنجليزية بـ (Polynomials)، هي تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات، معاملات (ثوابت)، وعمليات الجمع، الطرح، الضرب، والأسس غير السالبة فقط. تُعتبر كثيرات الحدود جزءًا أساسيًا من علم الرياضيات والجبر، حيث تُستخدم في مجموعة واسعة من التطبيقات الرياضية للتعبير عن الأرقام كنتيجة للعمليات الرياضية.

ومن الأمثلة على كثيرات الحدود: 3س²-2س+5، -7س+3. بينما تعبيرات مثل 6س-2+2س-3، جتا(س²-1) لا تُعد من كثيرات الحدود، حيث تحتوي على عمليات أخرى غير الجمع، الطرح، الضرب، والأسس غير السالبة.

مكونات كثيرات الحدود

تنقسم كثيرات الحدود إلى المكونات التالية:

الحدود (أحاديات الحدود)

(Monomials) هي تعبيرات تتكون من متغيرات وثوابت أو ثوابت فقط، ولا تحتوي على عمليات جمع أو طرح. تُعتبر أحاديات الحدود الأجزاء الأساسية لكثيرات الحدود، وتعرف باسم “حد” (Term) إذا كانت جزءًا من كثير حدود أكبر. نقدم هنا مثالاً يوضح كيفية تحديد عدد الحدود في كثيرات الحدود:

معامل الحد

(Term Coefficient) هو العنصر الثابت الذي لا يتغير لذلك الحد. نوضح هنا مثالاً يبين كيفية تعيين المعاملات لكل حد من الحدود:

ملاحظة: إن لم يوجد متغيرات في الحد، فإن المعامل هو الحد نفسه.

تصنيف كثيرات الحدود

يمكن تصنيف كثيرات الحدود بعدة طرق, منها:

• بناءً على عدد الحدود: يُقسم كثير الحدود إلى:
  • أحدي الحد، وهو يضم حداً واحداً فقط مثل: 8س.
  • ثنائي الحدود، وهو يضم حدين فقط مثل: 3س-4.
  • ثلاثي الحدود، وهو يضم ثلاثة حدود مثل: 4س²+5س-2. إذا احتوى كثير الحدود على أكثر من ثلاثة حدود، يُسمى بعدد الحدود التي يحتوي عليها.
• بناءً على الدرجة: تحدد درجة الحد من خلال قيمة أس المتغير فيه، أو مجموع قيم أسس المتغيرات إذا كان هناك أكثر من متغير. تكون درجة كثير الحدود دائمًا مساوية لدرجة الحد الأعلى. حسب الأمثلة التالية يمكن تحديد درجة كثير الحدود:
• المثال الأول: حدد درجة كثير الحدود 5س⁴+3س³+9س²:
  • الحل: درجة الحد 5س⁴ هي 4، درجة الحد 3س³ هي 3، ودرجة الحد 9س² هي 2. لذا فإن الحد 5س⁴ هو الحد ذو الدرجة الأعلى وبذلك يُعتبر هذا كثير الحدود من الدرجة الرابعة.
• المثال الثاني: حدد درجة كثير الحدود 6ص³+3سص+9.
  • الحل: درجة الحد 6ص³ هي 3، درجة الحد 3سص هي 2، ودرجة الحد 9 هي 0. لذا فإن الحد 6ص³ هو الحد ذو الدرجة الأعلى ويُعتبر هذا كثير الحدود من الدرجة الثالثة.

يُشار أيضًا إلى أن كثير الحدود ذو الدرجة صفر يُعرف بالثابت، نظرًا لأن قيمة الثابت تبقى ثابته. بينما كثير الحدود من الدرجة الأولى يُسمى كثير الحدود الخطي، ويستخدم لوصف الكميات التي تتغير بمعدل ثابت. أما كثير الحدود ذو الدرجة الثانية فيعرف بكثير الحدود التربيعي، ويعتمد بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالأبعاد الثنائية مثل المساحة.

الصيغة القياسية لكتابة كثيرات الحدود

تُكتب كثيرات الحدود بالصورة القياسية من خلال ترتيب الحدود ذات الدرجة الأعلى أولاً، ثم ترتيبها تنازليًا حتى الوصول إلى الحد ذو الدرجة الأقل. نوضح هنا كيفية كتابة كثيرات الحدود بالصورة القياسية من خلال المثال التالي:

• اكتب كثير الحدود 3س²-7+4س³+س⁶ بالصورة القياسية:
  • الحل: الحد ذو الدرجة الأعلى هو س⁶، لذلك يُكتب أولاً، ثم 4س³، ثم 3س²، ثم الثابت. وبالتالي، يُكتب كثير الحدود بالشكل التالي: س⁶+4س³+3س²-7.

العمليات الحسابية على كثيرات الحدود

إليك أهم العمليات الحسابية المرتبطة بكثيرات الحدود:

جمع وطرح كثيرات الحدود

تتم جمع كثيرات الحدود من خلال جمع الحدود المتشابهة التي تمتلك المتغيرات والأسس ذاتها. يمكن أن تختلف معاملات تلك الحدود. على سبيل المثال، الحدود س، 7س، -2س تُعتبر حدوداً متشابهة رغم اختلاف معاملاتها. بينما الحدود 2س، 2سص، 2ص، 2س²، و4 تُعتبر مختلفة.

• المثال الأول: احسب ناتج جمع 2س²+6س+5 و 3س²-2س-1.

الحل: أولاً نكتب المسألة كالآتي: 2س²+6س+5+3س²-2س-1، ثم نجمع الحدود المتشابهة: (2س²+3س²) + (6س-2س) + (5-1) = 5س²+4س+4.

• المثال الثاني: جد ناتج طرح: (5ص² + 2سص -9) – (2ص² + 2سص – 3).

الحل: نبدأ بإزالة الأقواس أولاً، ثم نوزع إشارة الطرح على القوس التالي ليؤدي إلى عكس كل إشارة فيه. ثم نجمع الحدود المتشابهة:
5ص² + 2سص -9 – 2ص² – 2سص + 3 = 5ص² – 2ص² + 2سص – 2سص – 9 + 3 = 3ص² – 6.

ضرب كثيرات الحدود

يمكن ضرب كثيرات الحدود عن طريق توزيع كل حد من الحدود في كثير الحدود الأول على كل حد في كثير الحدود الثاني، ثم جمع الحدود المتشابهة إذا أمكن. عند ضرب حدين، يجب أولاً ضرب المعاملات ثم جمع الأسس. نوضح هنا طريقة الضرب من خلال المثال التالي:

• احسب ناتج (3س-4ص)×(5س-2ص).
  • الناتج هو: 15س² – 26سص + 8ص².

تدريبات متنوعة على كثيرات الحدود

إليك بعض الأمثلة حول كثيرات الحدود:

المثال الأول: احسب ناتج ما يلي:

• (3س+2)×(4س²-7س+5).
• (4س-5)×(2س^{2</sup}+3س-6).}
• (3س²-6س+سص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص).
• (2س²-4ص+7سص-6ص²) – (-3س²+5ص-4سص+ص²).

الحل:

• (3س+2)×(4س²-7س+5) = 12س³ – 21س² + 15س + 8س² – 14س + 10
  = 12س³ – 13س² + س + 10.
• (4س-5)×(2س²+3س-6) = 8س³ + 12س² – 24س – 10س² – 15س + 30
  = 8س³ + 2س² – 39س + 30.
• (3س²-6س+سص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص)
  = 2س³ – 2س² + س + سص + 5ص.
• (2س²-4ص+7سص-6ص²) – (-3س²+5ص-4سص+ص²)
  = 5س² – 9ص + 11سص – 7ص².

المثال الثاني: إذا كانت أ = 4س⁴-3س³+س²-5س+11، ب = -3س⁴+6س³-8س²+4س-3، احسب أ – 2×ب.

الحل:

• لنحسب 2×ب أولاً: 2×(-3س⁴+6س³-8س²+4س-3) = -6س⁴ + 12س³ – 16س² + 8س – 6.
• تزاح أ – 2ب = 4س⁴ – 3س³ + س² – 5س + 11 – (-6س⁴ + 12س³ – 16س² + 8س – 6)
  = 4س⁴ + 6س⁴ – 3س³ – 12س³ + س² + 16س² – 5س – 8س + 11 + 6
  = 10س⁴ – 15س³ + 17س² – 13س + 17.

المثال الثالث: احسب درجة كل كثير حدود من الآتي:

• 7س² + 3س – 2س⁴ + 8س⁶ – 7.
• 6س³ + 3سص + 9.
• 4س² + 3س + 9.
• 3س⁴ – 4س³ص + 6س²ص³ + 7ص⁴ + 2.

الحل:

• بالنسبة لـ 7س² + 3س – 2س⁴ + 8س⁶ – 7.
  • 7س² درجته (2)، 3س درجته (1)، -2س⁴ درجته (4)، 8س⁶ درجته (6)، -7 درجته (0).
  • إذًا، درجة كثير الحدود هذه هي (6)؛ أي أنها كثير حدود من الدرجة السادسة.
• بالنسبة لـ 6س³ + 3سص + 9.
  • 6س³ درجته (3)، 3سص درجته (2)، 9 درجته (0).
  • إذًا، درجة كثير الحدود هذه هي (3)؛ أي أنها كثير حدود من الدرجة الثالثة.
• بالنسبة لـ 4س² + 3س + 9.
  • 4س² درجته (2)، 3س درجته (1)، 9 درجته (0).
  • إذًا، درجة كثير الحدود هذه هي (2)؛ أي أنها كثير حدود من الدرجة الثانية.
• بالنسبة لـ 3س⁴ – 4س³ص + 6س²ص³ + 7ص⁴ + 2.
  • 3س⁴ درجته (4)، -4س³ص درجتها (4)، +6س²ص³ درجتها (5)، -7ص⁴ درجته (4)، 2 درجته (0).
  • إذًا، درجة كثير الحدود هذه هي (5)؛ أي أنها كثير حدود من الدرجة الخامسة.