أرقام نيبير: مفهومها وأهميتها

نظرة عامة على العدد النيبيري

يُعتبر العدد النيبيري، المعروف أيضًا بثابت أويلر (Euler’s Number)، واحدًا من أبرز الثوابت الرياضية بعد الثابت باي. يُرمز له بالرمز (e) في الإنجليزية و(هـ) في العربية، وتبلغ قيمته تقريبًا (2.7182818284590452353602874713527). يُعد هذا العدد غير نسبي ولا نهائي، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه على شكل كسر بسيط. يُعتبر هذا العدد أساس اللوغاريتم الطبيعي الذي طوره العالم الاسكتلندي جون نابير (John Napier)، ولهذا سُمي بالعدد النيبيري. أما فيما يخص تسميته بثابت أويلر، فترتبط ارتباطًا وثيقًا بالعالم السويسري ليونهارد أويلر (Leonhard Euler). يُعرف اللوغاريتم الذي يستخدم العدد النيبيري أساسًا له باللوغاريتم الطبيعي، ويرمز له بالصيغة (ln (x).

تعتبر الدوال، التي تحتوي على العدد النيبيري، مثل ق(س) = هـ س، واللوغاريتم الطبيعي لـ (هـ (س)، أدوات أساسية للتعبير عن المتغيرات في العديد من المشكلات العلمية، بما في ذلك معادلات الاضمحلال الإشعاعي في الكيمياء والفيزياء، وكذلك في معادلات النمو السكاني، بالإضافة إلى دراسة تغيرات درجة الحرارة مع ارتفاع أو انخفاض درجة حرارة المادة. علاوةً على ذلك، يمكن استخدام اللوغاريتم الطبيعي لحل المعادلات الأسية المختلفة، ويُظهر المثال التالي كيفية ذلك:

• مثال: كيف يمكن حل المعادلة الأسية التالية: 3 س² – 1 = 8؟
  • بإدخال اللوغاريتم لأطراف المعادلة، يصبح: لوهـ (3 س² – 1) = لوهـ 8.
  • تطبيق قواعد اللوغاريتم يؤدي إلى: (س² – 1) × لوهـ 3 = لوهـ 8.
  • لذا، يمكن كتابة: س² – 1 = لوهـ 8 / لوهـ 3، وبالتالي فإن: س = ((لوهـ 8 / لوهـ 3) + 1)√.

تاريخ اكتشاف العدد النيبيري

تعود جذور فكرة العدد النيبيري إلى عام 1618م، عندما قام العالم نابير بوضع جدول يوضح اللوغاريتمات الطبيعية لمجموعة من الأعداد، بالرغم من أن مفهوم اللوغاريتمات لم يكن شائعًا في ذلك الوقت كما هو الآن. بدأ العلماء في التفاعل مع مفهوم العدد النيبيري عندما قام سانت فنسنت بحساب مساحة المنطقة الواقعة أسفل القطع الزائد القائم، لكنه لم يستطع الربط بين ذلك ومفهوم العدد النيبيري بشكل مباشر. في عام 1661م، توصل هيجنز (Huygens) إلى العلاقة بين اللوغاريتمات والقطع الزائد القائم، موضحًا أن المساحة تحت القطع الزائد بين القيمة 1 والعدد هـ هي 1، مما جعل العدد النيبيري قاعدة للوغاريتم الطبيعي لاحقاً.

في عام 1668م، استخدم نيكولاس مركاتور (Nicolaus Mercator) مفهوم اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة، معرفًا إياه كلوغاريتم يكون أساسه العدد النيبيري (هـ)، لكنه لم ينجح في حساب قيمة هذا الثابت. وفي عام 1683م، سعى العالم ياكوب برنولي (Jacob Bernoulli) لحل مسألة تتعلق بالفائدة المركبة، محاولاً حساب قيمة نهاية التعبير (1 + (1/n))^n عندما تقترب n من اللانهاية باستخدام مبرهنة ثنائي الحد، حيث اكتشف أن هذه القيمة تقع بين 2 و3، وهي تقابل قيمة العدد النيبيري (هـ).

في عام 1960م، تم التعبير عن الثابت هـ بقيمته الحقيقية عندما كتب العالم لايبنتز رسالة إلى هيجنز، حيث ذكر القيمة الحقيقية للعدد النيبيري، لكنه رمز له بالرمز (b) بدلاً من (هـ) أو (e). لاحقًا، أُستخدم الرمز (e) أو (هـ) للعدد النيبيري للمرة الأولى في رسالة كتبها أويلر إلى غولدباج في عام 1731م، الذي بدوره قام بعد ذلك بإجراء العديد من الاكتشافات المتعلقة بهذا العدد في السنوات التالية.

في عام 1748م، نشر أويلر بحثاً علمياً تناول فيه مفهوم العدد النيبيري وقيمته بدقة، حيث أظهر أن قيمته تساوي الحد الذي يصل إليه (n/(1 + 1))^n عندما تقترب n من اللانهاية، وقدّر أويلر هذا العدد إلى 18 منزلة عشرية، لتكون قيمته بذلك 2.718281828459045235.

وسائل حساب العدد النيبيري

توجد طرق متعددة لحساب قيمة العدد النيبيري، لكن جميعها لا تنتج قيمة دقيقة تمامًا، نظرًا لأن العدد النيبيري يعتبر عددًا غير نسبي ولا نهائي وغير دوري، ويحتاج لأكثر من تريليون منزلة عشرية للتعبير عنه بدقة. وتوضح الطرق التالية كيفية إيجاد قيمته:

حساب العدد النيبيري باستخدام النهايات

تظهر نهاية التعبير (1 + (1/n))^n كلما اقتربت قيمة n من اللانهاية، مما يجعل قيمة العدد النيبيري أكثر دقة:

حساب العدد النيبيري باستخدام المتسلسلة

قيمة العدد النيبيري يمكن حسابها بالمتسلسلة التالية: (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + (1/6!) + (1/7!) + …؛ حيث أن الرمز (!) يعني مضروب. وبحساب نتيجة هذه القيم، نجد أن:

• قيمة العدد النيبيري = 1 + 1 + (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = … 2.71666.
• ومن الجدير بالذكر أن العالم أويلر نفسه استخدم هذه المتسلسلة لحساب قيمة العدد النيبيري، حيث قدّر قيمته إلى 18 منزلة عشرية من خلالها.

خصائص العدد النيبيري

يمكن تلخيص الخصائص المميزة للعدد النيبيري على النحو التالي:

• مقلوب العدد النيبيري يعادل نهاس ← ∞ (1 – (1/x))^x، وبالتالي يُعبر عنه بـ 1/هـ.
• مشتقة العدد النيبيري يمكن تقسيمها إلى قسمين:
  • مشتقة العدد النيبيري المرفوعة إلى أس متغير، أي: (هـ^س) تساوي هـ^س.
  • مشتقة اللوغاريتم الطبيعي مثل: لوهـ س تساوي 1/س.
  • ∫ هـ^س dx = هـ^س + جـ.
  • ∫ لوهـ س dx = (س × لوهـ س) – س + جـ.
  • التكامل المحدود من 1 إلى هـ لـ ∫(1/x) dx يعادل 1، ويمكن التوصل إلى هذه النتيجة من خلال حساب المساحة المحصورة بين الدالة (1/x) ومحور السينات للفترة من 1 إلى هـ، مما يوضح أنها تساوي لوهـ هـ = 1.
  • حاول العالم أويلر توحيد بعض الثوابت الرياضية في علاقة رياضية واحدة، فتوصل إلى المعادلة: هـ^(i×π) + 1 = 0؛ حيث إن : π هو الثابت باي وقيمته التقريبية 3.14.
  • i هو الجذر التربيعي للعدد -1، بحيث (i = √(-1).
  • هـ يمثل العدد النيبيري وقيمته التقريبية تساوي 2.71828182845.

استخدامات العدد النيبيري

تتعدد استخدامات العدد النيبيري في مجالات علمية وعملية مختلفة، ومن أبرز هذه الاستخدامات ما يلي:

• يستخدم في الدوال اللوغاريتمية والأسية.
• يُستخدم في حساب الفائدة المركبة.
• يُستخدم في تحديد معدل الاضمحلال النشاط الإشعاعي.
• يُستخدم في العديد من المعادلات الفيزيائية المتعلقة بالموجات، بما في ذلك معادلات الضوء والصوت والكم.
• يُستخدم في نظرية الاحتمالات.