حجم الكرة والأسطوانة، في هذا المقال سوف نستعرض موضوع حجم الكرة والأسطوانة. تُعتبر الكرة شكلاً هندسياً يتكون من نقاط متساوية البعد عن نقطة مركزية معروفة، حيث يُعرف هذا البعد بنصف القطر. بالإضافة إلى ذلك، سنقوم بتناول الأسطوانة كأحد الأشكال الهندسية التي سنتحدث عنها في المقال.
تعريف الكرة
- الكرة واحدة من الأشكال المألوفة التي نواجهها في حياتنا اليومية. تُشكل الكرة من مجموعة من النقاط التي تبعد عن مركز ثابت يسمى مركز الكرة، مع وجود خط مستقيم يربط بين النقاط الموجودة على سطح الكرة.
- تختلف مساحة الكرة عن مساحة الأسطوانة، حيث أن المساحة الأولى تكون أقل وفقاً لقوانين حجم الكرة المعروفة.
خصائص الكرة
- تتكون الكرة من سطح واحد فقط، مما يجعلها لا تُعتبر من الأجسام متعددة الوجوه، فلا يُطلق عليها مسمى “وجه”. وعلى العموم، الشكل الكروي ليس مسطحاً.
- الكرة خالية من الأضلاع والجوانب والحواف، كما أنها لا تحتوي على رؤوس أو زوايا.
- تُعرف الكرة بكونها جسماً ثلاثي الأبعاد.
- تتبنى المسافة بين النقاط الموجودة على سطح الكرة والمركز نفس القيمة، حيث تكون متماثلة لجميع النقاط السطحية.
- يمكن رؤية الشكل الكروي في العديد من الأماكن وتتوفر منه أشكال متنوعة تعتبر مألوفة للجميع.
تعريف الأسطوانة
- الأسطوانة تُصنف أيضاً كجسم ثلاثي الأبعاد، وتتكون من قاعدتين دائريتين متطابقتين ومتقابلتين. تنشأ الأسطوانة من التدوير الكامل لشكل مستطيلي حول أحد جوانبه. كما تحتفظ بعدد من الخصائص التي تميزها عن أشكال هندسية أخرى.
- من الميزات الأساسية للأسطوانة أنها تحتوي على قاعدة مستوية تُعتبر قمة لها، مما يعني أن القاعدتين متطابقتان، كما تتميز بجانب واحد فقط، على الرغم من كونه منحني.
- هناك أنواع متعددة من الأسطوانات، ومن بينها الأسطوانة المائلة والأسطوانة القائمة، والتي تختلف بناءً على كيفية تعامد ارتفاعها مع القاعدة. تُعتبر الأسطوانة قائمة عندما يكون ارتفاعها متعامداً تماماً مع قاعدتها.
- الأشكال المائلة للأسطوانات تشبه المنشورات؛ فكلما زادت عدد أوجه المنشور، زادت شبهة الأسطوانة.
حجم الأسطوانة
- الحجم يمثل الحيز الذي يشغله الشكل ثلاثي الأبعاد في الفضاء، ويُقاس بوحدات مختلفة مثل المتر والسنتيمتر وغيرها، مما يجعل شكل الأسطوانة يتميز عن غيره.
- يتم حساب حجم الأسطوانة بطريقة مشابهة لحساب حجم المنشور، نظراً لتشابه خصائصهما. يُحسب حجم الأسطوانة من خلال ضرب مربع نصف القطر في الارتفاع ثم في الثابت π.
- القانون لحجم الأسطوانة هو: حجم الأسطوانة = نصف القطر² × الارتفاع × π.
مساحة الكرة
تُعادل مساحة الكرة أربعة أضعاف مساحة الدائرة التي تحتسب من نصف قطرها، وبالتالي يمكن حساب مساحة سطح الكرة بالصيغة التالية: 4 × نق² × π.
أمثلة على سطح الكرة:
- مثال 1: إذا كان قطر الكرة 7 سم، فإن مساحتها تساوي 4 × نق² × π أي 4 × (7)² × 3.14 = 615.44 سم².
- مثال 2: إذا كانت الكرة لها قطر يساوي 10 سم، فما هي مساحتها؟ نستخدم القانون 4 × نق² × π، لنحصل على 4 × (5)² × 3.14 = 314 سم².
- مثال 3: إذا كانت مساحة السطح الخاص بالكرة هو 2826 سم²، فما هو طول نصف القطر الخاص بها؟ باستخدام القانون 4 × نق² × π، نجد أن نق² = 2826 ÷ 12.56، مما يجعل نصف القطر يعادل الجذر التربيعي لـ 225 = 15 سم.
- من الملاحظ أن حساب مساحة الكرة يتطلب معرفة الطول الخاص بنصف القطر، وإذا تم معرفته، فإن عملية الحساب تصبح سهلة. وإذا لم يكن متوفراً، يمكن لف حبل حول الكرة لقياس محيطها، ثم قسمته على (2 π) لمعرفة قيمة نصف القطر.
- للحصول على نتيجة أكثر دقة، يجب لف الحبل ثلاث مرات، ثم أخذ المتوسط من القياسات وتقسيمه على (2 π) لتحديد قيمة نصف القطر.
حجم الكرة والأسطوانة
- قانون حجم الكرة هو = 3/4 × π × نق³. ويأتي اشتقاقه من العلاقة بين حجم الكرة وحجم الأسطوانة كما تم الإيضاح سابقاً.
- حجم الأسطوانة يُساوي ثلاثة أضعاف حجم نصف الكرة. وبما أن حجم الأسطوانة يُحسب كـ نق² × الارتفاع، فإن 3.14 = π أو 7/22، حيث يمثل “ع” الارتفاع و”نق” هو نصف القطر.
- يمكن استخدام 2/3 = 1.5 بدلاً من الكسر بتطبيق العملية من خلال المعادلة 3/2 × “π × نق² × ع” = حجم الكرة، مما يعني أن “π × نق² × 2” /3 = حجم الكرة.
- إذاً الارتفاع = 2 نق، مما يعني أن “π × نق² × 4 نق” /3 يعادل حجم الكرة، أي أن (π × نق³ × 4) /3 هو فعلياً حجم الكرة. لذا حجم الكرة يساوي 3/4 × π × نق³.
- يمكن القيام بتجربة بسيطة توضح هذا القانون بشكل عملي، مما يظهر العلاقة بين حجم الكرة وحجم الأسطوانة عبر مجموعة من الخطوات السهلة، تُساعد في الوصول إلى القانون الخاص بحجم الكرة.
- خطوات قانون حجم الكرة تتضمن استخدام جسم أسطواني وكرة مفرغة بداخلها، بارتفاع يساوي 2 نق لنصف الكرة، حيث أن نصف القطر الخاص بالكرة يعادل نصف القطر الخاص بالأسطوانة.
- يتم تقسيم الكرة المفرغة لجزئين متطابقين واستخدام الرمل لملء نصف الكرة، ثم يقوم المرء بتفريغ كمية منه في الأسطوانة وإعادة الخطوات حتى يتم ملء الأسطوانة بالكامل بالرمل.
- سيُستنتج أن الأسطوانة امتلأت بمقدار ثلاثة أضعاف كمية الرمل الموجودة في نصف الكرة، مما يوضح أن الأسطوانة أكبر من الكرة.
معلومات أخرى عن الكرة
- حجم الكرة يُحتسب كعدد معين من الوحدات المكعبة الموجودة بداخلها؛ ويُعادل 3/4 × π = 4.19، مما يعني أن حجم الكرة يساوي 4.19 × نق³، وهي العلاقة التي توصل إليها أرخميدس، الفيلسوف اليوناني، منذ حوالي ألفين عام.
- توصل أرخميدس إلى أن حجم الكرة يساوي ثلث حجم الأسطوانة، كما أن محيطهما متساوي.
- يتم قياس حجم الكرة باستخدام المكعبات الملائمة، حيث تُحسب وحدة الطول مضروبة في وحدات الطول الأخرى على شكل مكعب. يمكن استخدام أي وحدات قياس موجودة في نظام القياس للحجم.
- يجب أن تبقى قياسات الحجم متكافئة، خاصة عندما يُقاس نصف القطر بوحدات المكعبات مثل المتر المكعب أو المليمتر المكعب، بالإضافة إلى أن وحدات قياس نصف القطر تشمل السنتيمترات والأقدام أو المتر.