دراسة شاملة حول المصفوفات في الرياضيات

ما هي المصفوفات؟

تعرف المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) على أنها تنظيم متسق للأعداد في شكل صفوف وأعمدة. تُعرض المصفوفات عادة ضمن إطار مربع أو مستطيل، حيث يُطلق على العمود الذي يرتفع عمودياً اسم “عمود”، وعلى الصف الذي يمتد أفقياً اسم “صف”. يتم تعريف حجم المصفوفة بناءً على عدد الصفوف والأعمدة بها كما يلي: حجم المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على صفين وثلاثة أعمدة، فإنه يتم التعبير عن حجمها بـ 2×3. تُعرف الصفوف والأعمدة في هذه الحالة بأبعاد المصفوفة.

خصائص المصفوفات

تشير عناصر المصفوفة إلى كل ما تحتويه المصفوفة من أرقام أو رموز أو تعبيرات جبرية. إليك أبرز خصائص المصفوفات:

• إذا كانت عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة ما مساوياً لعدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى، فإن المصفوفتين تكونان متساويتين في الحجم.
• يمكن تسميتها باستخدام أي حرف من حروف اللغة العربية، بينما في اللغة الإنجليزية يتم الإشارة إليها باستخدام أحد الأحرف الكبيرة.
• تعبر العناصر داخل المصفوفة عن طريق كتابة اسم الحرف الذي يرمز للمصفوفة، متبوعًا بأرقام الصف والعمود لهذا العنصر على التوالي، أي بعبارة أخرى: اسم المصفوفة صف، عمود.

لتوضيح هذه الخصائص، نأخذ المثال الآتي للمصفوفة (ب):

| +6 +4 +24 |

| +1 – 9 + 8 |

• ب1،1: يشير إلى العنصر الواجد في الصف الأول والعمود الأول، ويساوي 6.
• ب3،1: يشير إلى العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثالث، ويساوي 24.
• ب3،2: يشير إلى العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثالث، ويساوي 8.

أنواع المصفوفات

توجد عدة أنواع من المصفوفات، ومنها:

• المصفوفة المربعة (Square Matrix): حيث يكون عدد الصفوف مساوياً لعدد الأعمدة.
• مصفوفة الصف الواحد (Row Matrix): وهي عبارة عن مصفوفة تتكون من صف واحد فقط، مثل:

| أ ب ج |

• مصفوفة العمود الواحد (Column Matrix): وهي تتكون من عمود واحد فقط، مثل:

| ب |

| ج |

| ك |

• المصفوفة الصفرية (Zero Matrix): وهي تتكون من أصفار فقط، مثل:

| 0 0 |

| 0 0 |

• المصفوفة القطرية (Diagonal Matrix): وهي مصفوفة مربعة تحتوي على عناصر تقع على طول القطر الممتد من العنصر العلوي الأيمن إلى العنصر السفلي الأيسر، بينما العناصر الأخرى تكون أصفاراً، مثل:

| ك 0 0 |

| 0 ب 0 |

| 0 0 ج |

• المصفوفة القياسية (Scalar Matrix): وهي نوع من المصفوفة القطرية حيث جميع العناصر على القطر متساوية، مثل:

| أ 0 0 |

| 0 أ 0 |

| 0 0 أ |

• المصفوفة المثلثة العليا (Upper Triangle Matrix): حيث تقع جميع العناصر فوق القطر، أما العناصر أسفله فتكون صفرية، مثل:

| أ ب ج |

| 0 هـ ز |

| 0 0 ك |

• المصفوفة المثلثة السفلى (Lower Triangle Matrix): حيث تكون جميع العناصر فوق القطر صفرية، مثل:

| ك 0 0 |

| أ هـ 0 |

| ز ب ج |

• مصفوفة الوحدة (Identity Matrix): هي مصفوفة قطرية ومربعة تحتوي على عدد متساوي من الصفوف والأعمدة، وتتكون من أي عدد ممكن من الصفوف والأعمدة، حيث يحتوي قطرها على الرقم واحد فقط. تعتبر حالة خاصة لأنها عند ضربها بأي مصفوفة أخرى تعطي نفس المصفوفة. ومن أمثلة مصفوفة الوحدة:

| 1 0 0 |

| 0 1 0 |

| 0 0 1 |

العمليات الحسابية على المصفوفات

إليك أبرز العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها على المصفوفات:

جمع وطرح المصفوفات

عند جمع أو طرح المصفوفات، يجب أن تكون هاتين المصفوفتين متساويتين في الحجم؛ أي يجب أن يتساوى عدد الصفوف والأعمدة بينهما.

لتوضيح ذلك، إذا كان عدد الصفوف في مصفوفة ما هو 3 وعدد الأعمدة 5، فإنه يمكن جمعها فقط بمصفوفة أخرى إذا كانت تحتوي أيضاً 3 صفوف و5 أعمدة. بينما لا يمكن جمعها بمصفوفة أخرى تحتوي على 3 صفوف و4 أعمدة. والعملية تتم عبر جمع العناصر المتطابقة في المكان بين المصفوفتين، وأيضًا ينطبق ذلك على عملية الطرح، والمثالان التاليان يوضحان ذلك:

• المثال الأول: ما هو ناتج جمع المصفوفتين الآتيتين؟

الحل:

• • | +3 +8 | + | +4 0 | = | +7 +8 |
  • | +4 +6 | + | +1 -9 | = | +5 -3 |
  • لأن: 3+4=7، 8+0=8، 4+1=5، و 6-9= -3.

• المثال الثاني: ما هو ناتج طرح المصفوفتين الآتيتين؟

الحل:

• • | +3 +8 | – | +4 0 | = | -1 +8 |
  • | +4 +6 | – | +1 -9 | = | +3 +15 |
  • لأن: 3-4 = -1، 8-0 = 8، 4-1 = 3، 6-(-9) = 15؛ حيث تتم عملية الطرح للعناصر الموجودة في نفس الموضع.

ضرب المصفوفات

هناك نوعان من عمليات ضرب المصفوفات:

الضرب القياسي

في الضرب القياسي (Scalar Multiplication) يتم ضرب عدد واحد في كل عنصر من عناصر المصفوفة. إليك مثال يوضح ذلك:

• مثال توضيحي: ما هو ناتج ضرب العدد 2 في المصفوفة التالية:

| 1 2 |

| 3 4 |

الحل: عند ضرب العدد 2 في المصفوفة السابقة، يجب ضرب هذا العدد في كل عنصر لتنتج المصفوفة الآتية:

| 2 4 |

| 6 8 |

ضرب المصفوفات

ضرب المصفوفات (Matrix Multiplication) هو النوع الثاني. يتم في هذا النوع ضرب مصفوفتين معاً، ويمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية، وتكون حجم المصفوفة الناتجة هو عدد صفوف المصفوفة الأولى × عدد أعمدة المصفوفة الثانية. إليك خطوات يجب اتباعها عند إجراء عملية ضرب المصفوفات:

• تحقق من أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.
• ضرب كل عنصر من صفوف المصفوفة الأولى في العناصر المقابلة في أعمدة المصفوفة الثانية.
• جمع النواتج.

مثال توضيحي: ما هو ناتج ضرب المصفوفتين أ×ب؟

• المصفوفة أ:

| 1 0 -2 |

| 0 3 -1 |

• المصفوفة ب:

| 0 +3 |

| -2 -1 |

| 0 +4 |

الحل:

• أولاً، تحقق من أن عدد الأعمدة في المصفوفة أ يساوي عدد الصفوف في المصفوفة ب.
• ثم يتم ضرب كل عنصر من صفوف المصفوفة الأولى في كل عنصر من أعمدة المصفوفة الثانية كما يلي:

| (1×0) + (0×-2) + (-2×0) (1×3) + (0×-1) + (-2×4) |

| (0×0) + (3×-2) + (-1×0) (0×3) + (3×-1) + (-1×4) |

• إن النتيجة هي المصفوفة التالية:

| 0 -5 |

| -6 -7 |

ملاحظة: في علم الرياضيات، عملية الضرب عملية تبديلية، مثل: 3×5 = 5×3، ولكن هذا ليس صحيحاً بالنسبة للمصفوفات؛ فحاصل ضرب المصفوفتين أ×ب لا يساوي حاصل ضرب ب×أ.

محدد المصفوفة

يستخدم محدد المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix Determinant) في العديد من التطبيقات مثل حل أنظمة المعادلات الخطية وإيجاد معكوس المصفوفة وغيرها. يتميز محدد المصفوفة بعدة خصائص، منها:

• هو عدد حقيقي.
• يمكن حسابه فقط إذا كانت المصفوفة مربعة.
• يمكن إيجاد معكوس المصفوفة فقط إذا كانت محددها لا يساوي صفراً.
• يُستخدم نفس الرمز للتعبير عن محدد المصفوفة الذي يُستخدم للتعبير عن القيمة المطلقة؛ مثلًا: يرمز لمحدد المصفوفة أ بالرمز | أ |.

تختلف طرق حسابه باختلاف أبعاد المصفوفة؛ أي عدد الصفوف والأعمدة. وفيما يلي توضيح:

إذا كانت أبعاد المصفوفة 2×2

أي مكونة من صفين وعمودين؛ يمكن حسابها عبر تطبيق القاعدة التالية: محدد المصفوفة = (القيمة العليا في اليمين × القيمة السفلى في اليسار) – (القيمة العليا في اليسار × القيمة السفلى في اليمين). على سبيل المثال، يمكن حساب محدد المصفوفة التالية (أ):

| 2 6 |

| 1 3 |

محدد المصفوفة |أ| = (2×3) – (6×1) = 0.

إذا كانت أبعاد المصفوفة 3×3

تتكون من ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة كما يلي:

| أ ب ث |

| د ج ي |

| ز ك ت |

يمكن حساب محدد المصفوفة باستخدام القانون التالي: محدد المصفوفة = أ×(ج×ت – ك×ي) – ب×(د×ت – ز×ي) + ث×(د×ك – ز×ج). ويستند هذا القانون إلى ضرب كل عنصر في الصف المختار وهو الصف الأول (أ ب جـ) ترتيبه مع المصفوفة الثنائية الأبعاد الناتجة عن استثناء العمود والصف الذي يوجد فيه العنصر المختار. لتوضيح ذلك، دعنا نحسب المحدد للمصفوفة التالية:

| +3 +2 +4 |

| -5 +6 +3 |

| +4 +7 +2 |

بتطبيق القانون أعلاه، سيكون المحدد = 3×(6×2 – 7×3) – 2×(-5×2 – 3×4) + 4×(-5×7 – 6×4) = -219.

معكوس المصفوفة

يمكن تعريف معكوس المصفوفة على أنه المصفوفة التي ينتج عن ضربها المصفوفة الأصلية مصفوفة الوحدة، وهي المصفوفة التي تحتوي على عدد واحد فقط في العناصر على القطر والأخرى أصفار. تختلف طرق إيجاد معكوس المصفوفة بناءً على أبعادها؛ فإذا كانت المصفوفة ثنائية الأبعاد (2×2)، يمكن إيجاد معكوسها كما يلي:

• إيجاد المصفوفة المصاحبة (Adjugate Matrix) عبر عكس ترتيب العناصر في أحد الأقطار وإيجاد القيمة السالبة للقطر الآخر على النحو التالي:

المصفوفة الأصلية:

| أ ب |

| ج د |

المصفوفة المصاحبة:

| د -ج |

| -ب أ |

• إيجاد محدد المصفوفة.
• حساب حاصل ضرب: (1/محدد المصفوفة) × المصفوفة المصاحبة؛ ينتج عن ذلك معكوس المصفوفة. أي: معكوس المصفوفة = (1/محدد المصفوفة) × المصفوفة المصاحبة.

أما إذا كانت أبعاد المصفوفة (3×3) أو أكثر، يمكن إيجاد معكوسها وفق الخطوات التالية:

• جد معكوس المصفوفة التالية:

| 1 3 3 |

| 1 4 3 |

| 1 3 4 |

يمكن إيجاد المعكوس باستخدام الخطوات التالية:

• قم بكتابة مصفوفة الوحدة بجانب المصفوفة التي نريد إيجاد معكوسها.

| 1 3 3 | 1 0 0 |

| 1 4 3 | 0 1 0 |

| 1 3 4 | 0 0 1 |

• تخيل الطريقة التي يمكن بواسطتها تحويل المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة الوحدة عبر إجراء مجموعة من العمليات كما يلي:

• تحويل العنصر الثاني من العمود الأول إلى صفر عبر ضرب الصف الأول بالعدد -1، ثم إضافته للصف الثاني، ووضع النتيجة في الصف الثاني كما يلي:

| 1 3 3 | + 1 0 0 |

| 0 1 0 | – 1 1 0 |

| 1 3 4 | 0 0 +1 |

• تحويل العنصر الثالث من العمود الأول إلى صفر عبر ضرب الصف الأول بالعدد -1، ثم إضافته للصف الثالث، ووضع النتيجة في الصف الثالث كما يلي:

| 1 3 3 | + 1 0 0 |

| 0 1 0 | – 1 1 0 |

| 0 0 1 | – 1 0 1 |

• تحويل العنصر الثاني من الصف الأول إلى صفر عبر ضرب الصف الثاني بالعدد -3، ثم إضافته للصف الأول، ووضع النتيجة في الصف الأول كما يلي:

| 1 0 3 | + 4 -3 0 |

| 0 1 0 | – 1 +1 0 |

| 0 0 1 | – 1 0 +1 |

• تحويل العنصر الثالث من الصف الأول إلى صفر عبر ضرب الصف الثالث بالعدد -3، ثم إضافته للصف الأول، ووضع النتيجة في الصف الأول كما يلي:

| 1 0 0 | + 7 -3 -3 |

| 0 1 0 | – 1 +1 0 |

| 0 0 1 | – 1 0 +1 |

• سيكون معكوس المصفوفة كما يلي:

| +7 -3 -3 |

| -1 +1 0 |

| -1 0 +1 |

• يمكن التحقق من صحة الحل عبر ضرب هذه المصفوفة في المصفوفة الأصلية للحصول على مصفوفة الوحدة.

تمارين متنوعة حول المصفوفات

إليك بعض التمارين المتنوعة حول حل المعادلات باستخدام المصفوفات:

• المثال الأول: ما هو ناتج ضرب المصفوفتين أ×ب، علماً بأنه قيمة كل منهما كما يلي:

المصفوفة أ تساوي:

| 3 -1 2 |

| -2 4 0 |

المصفوفة ب تساوي:

| +2 0 |

| -1 4 |

| -3 2 |

الحل:

• عند ضرب كل عنصر من عناصر كل صف من المصفوفة الأولى بكل عنصر مقابل له من عناصر المصفوفة الثانية، ينتج المصفوفة التالية:

| (3×2) + (-1×-1) + (2×-3) (3×0) + (-1×4) + (2×2) |

| (-2×2) + (4×-1) + (0×-3) (-2×0) + (4×4) + (0×2) |

• فتنتج المصفوفة التالية:

| 1 0 |

| -8 16 |

• المثال الثاني: إذا كان حاصل ضرب المصفوفتين أ×ب مساوياً لحاصل ضرب ب×أ، فما هي قيمة س، علماً أن قيمة المصفوفتين أ و ب كما يلي:

المصفوفة أ تساوي:

| 1 س |

| 2 +3 |

المصفوفة ب تساوي:

| 1 1 |

| 1 2 |

الحل:

• أ×ب =

| (1×1)+(س×1) (1×1)+(س×2) |

| (2×1) + (3×1) (2×1) + (3×2) |

• ب×أ =

| (1×1)+(1×2) (1×س)+(1×3) |

| (1×1)+(2×2) (1×س)+(2×3) |

• بإيجاد أحد العناصر المتقابلة في المصفوفتين، نحصل على: 1×1 + 1×2 = 1×1 + س×1، ومنه: 3 = 1 + س، إذن س = 2.

• المثال الثالث: ما هو معكوس المصفوفة أ التي تساوي:

| 3 1 |

| 4 2 |

الحل:

• بتطبيق خطوات إيجاد المعكوس للمصفوفة ثنائية الأبعاد، سيكون معكوس المصفوفة كما يلي: 1/((3×2)-(1×4)) مضروبًا في المصفوفة التالية:

| +2 -1 |

| -4 +3 |

• وبضرب 1/((3×2)-(1×4)) = 1/2 في المصفوفة السابقة، نحصل على معكوس المصفوفة، وهو:

| 1 -1/2 |

| -2 3/2 |

ملاحظة: للتحقق من صحة الحل، نجد أن المصفوفة × معكوسها = مصفوفة الوحدة.

• المثال الرابع: ما هي قيمة س و ص في المصفوفتين الآتيتين:

| -3 س | + | 4 6 | = | +1 7 |

| 2ص 0 | + | -3 1 | = | -5 1 |

الحل:

• س + 6 = 7، وبالتالي س = 1.
• 2ص – 3 = -5، بحل المعادلة تصبح ص = -1.

المثال الخامس: ذهب مجموعة من الأشخاص في رحلة، حيث كانت وسيلة النقل في الذهاب باص وفي العودة بالقطار. كانت أجرة كل طفل في الباص 3 دولارات، وأجرة الشخص البالغ 3.2 دولار، وكان مجموع ما دفعوه للباص 118.40 دولار. بينما كانت أجرة كل طفل في القطار 3.50 دولار، وأجرة الشخص البالغ 3.60 دولار، وكان مجموع ما دفعتوه للقطار 135.20 دولار، ابحث عن عدد الأطفال والبالغين الذين سافروا في هذه الرحلة؟

الحل:

• يمكن تمثيل هذه المسألة باستخدام المصفوفات كما يلي:
• المصفوفة الأولى: س = | عدد الأطفال عدد البالغين |

| س1 س2 |

• المصفوفة الثانية: أ= أجرة الباص لكل فرد من الأطفال والبالغين:

| 3.0 3.5 |

| 3.2 3.6 |

• المصفوفة الثالثة: ب= مجموع أجور الباص لكل من الأطفال والبالغين:

| 118.4 135.20 |

لنفترض أن المصفوفة الأولى هي س، والثانية أ، والثالثة ب، وحيث س × أ = ب، ولإيجاد المصفوفة س، تكون س = ب × أ^-1؛ (أي معكوس المصفوفة أ).

إيجاد معكوس المصفوفة أ، والتي تساوي:

| -9.0 +8.75 |

| +8.0 -7.50 |

بعد ضرب المصفوفة ب في معكوس المصفوفة أ، نحصل على المصفوفة التالية التي تمثل عدد الأطفال في العمود الأول وعدد البالغين في العمود الثاني:

| 16 22 |