القطوع المخروطية
تشير القطوع المخروطية إلى أي منحنى ينشأ نتيجة تقاطع مستوى مع مخروط دائري الشكل قائم. تعتمد نوعية هذا التقاطع على زاوية الميل بين المستوى والمخروط، ويمكن أن يكون الناتج دائرة، قطع ناقص، قطع زائد، أو قطع مكافئ. هناك أيضاً حالات خاصة، مثل عندما يمر المستوى عبر قمة المخروط، فينتج عن ذلك نقطة واحدة، أو عندما يمر عبر القمة ونقطة أخرى على سطح المخروط، مما ينتج عنه خط مستقيم أو خطان مستقيمان متقاطعان.
يمكننا وصف القطوع المخروطية بأنها منحنيات مسطحة تشكل مسارات. يُعرف كل منحنى بأنها نقطة تتحرك بحيث تكون نسبة المسافة من نقطة ثابتة، وهي المركز، إلى المسافة من خط ثابت، يُعرف بالدليل. يُسمى هذا التفاضل بالانحراف اللامركزي للمنحنى. وزيادةً على ذلك، إذا كان الانحراف يساوي صفر، فإن المنحنى يكون دائرة، وإذا كان 1 فإنه يكون قطع مكافئ، بينما إذا كان أقل من 1 فإنه قطع ناقص، وإذا كان أكبر من 1 فسيكون قطع زائد.
القطع الزائد في الرياضيات
القطع الزائد هو منحنى يمثل جميع النقاط الموجودة على السطح المستوي بحيث تكون القيمة المطلقة ثابتة، وهي ناتجة عن الفرق بين بُعدين لنقطتين ثابتتين تعرفان بالبؤرة. يتكون القطع الزائد من تقاطع السطح المستوي مع مخروط دائري، مكونًا منحنيين يفتحان إما للأعلى والأسفل أو يمينًا ويسارًا.
إنه منحنى مفتوح ذو فرعين، ناجم عن تقاطع مخروط دائري، حيث يشبه الفرعان الأقواس اللانهائية. يمكن تعريفه بمعادلة تتحرك فيها نقطة بحيث تكون نسبة المسافة من نقطة ثابتة (المركز) إلى الخط الثابت (الدليل) أكبر من 1. بشكل آخر، يتم تعريف القطع الزائد كنقطة تتحرك بحيث يكون الفرق بين المسافتين من نقطتين ثابتتين (بؤرتين) ثابتًا.
معادلات القطع الزائد
هناك معادلتان للقطع الزائد تختلفان حسب المحور الذي يتطابق معه:
- الحالة الأولى
إذا كان المحور يتطابق مع محور (x)، فإنه يكون إما مفتوحًا تجاه اليمين أو اليسار، ويُعبر عنه بالمعادلة:
(x^2 / a^2) – (y^2 / b^2) = 1.
- الحالة الثانية
تحدث هذه الحالة عندما يكون المحور متطابقًا مع محور (Y)، ممّا يجعل القطع ينفتح إما للأعلى أو للأسفل، ويُعبر عنه بـ:
(y^2 / a^2) – (x^2 / b^2) = 1.
أهمية القطوع الزائدة في حياتنا
تلعب القطوع الزائدة دورًا بالغ الأهمية في العالم الواقعي، وقد استخدمت في تفسير العديد من الظواهر، بل وساهمت في الابتكارات التي ساعدت على التطور. ومن أبرز استخداماتها:
الأقمار الصناعية
يتم الاعتماد على القطوع الزائدة في أنظمة الأقمار الصناعية، فعند إطلاق الأقمار إلى الفضاء، يجب التنبؤ بمساراتها من خلال المعادلات الرياضية المرتبطة بالقطع الزائد. نظراً لتأثير الجاذبية الأرضية على هذه الأجسام الثقيلة، فإن مسار القمر ينحرف ليشكل قطعًا زائدًا.
الراديو
تستخدم القطوع الزائدة في إشارات أنظمة الراديو. يتم بناء المحطات الإذاعية وفق شكل القطع الزائد وذلك لتحسين منطقة التغطية للإشارات.
العدسات والشاشات
قام العلماء بتصميم العدسات والشاشات لتجمع الضوء في نقطة واحدة. يعتمد هذا التصميم على القطوع الزائدة التي تعكس الضوء إلى النقطة المحورية. عند استخدام التلسكوب أو المجهر، يكون هدفك هو التركيز على البؤرة، مما يسمح لك برؤية الأجسام غير المرئية بوضوح.