بحث رياضيات حول خصائص المثلثات وأهميتها

تعريف المثلث وخصائصه

يمكن تعريف المثلث (بالإنجليزية: Triangle) على أنه شكل مغلق ثنائي الأبعاد يتكون من ثلاثة أضلاع، حيث تتقاطع ثلاثة قطع مستقيمة في نقاط النهاية لتشكيل الرؤوس أو الزوايا. يتم عادةً تسمية المثلث وفقًا لرؤوسه، ويحتوي على ثلاث زوايا مجموع قياسها يساوي 180 درجة. يتقابل أقصر ضلع من المثلث مع أصغر زاوية داخلية، بينما يتقابل أطول ضلع مع أكبر زاوية داخلية. ومن أهم المصطلحات الخاصة بالمثلث:

الرأس (بالإنجليزية: Vertex): يشير إلى زاوية المثلث، وكل مثلث يمتلك ثلاثة رؤوس.
القاعدة (بالإنجليزية: Base): أي ضلع من أضلاع المثلث يمكن أن يكون قاعدة له، ولكن القاعدة غالبًا ما تكون الضلع السفلية، وفي المثلث متساوي الساقين، تكون القاعدة عادةً هي الضلع غير المتساوي.
متوسط المثلث (بالإنجليزية: Median): هو الخط الذي يمتد من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل له، وهناك ثلاثة متوسطات تتقاطع في نقطة تُعرف بالنقطة المركزية للمثلث (بالإنجليزية: Centroid).
الارتفاع (بالإنجليزية: Altitude): هو العمود الممتد من القاعدة إلى الرأس المقابل لها، ويمتلك المثلث ثلاث ارتفاعات تتقاطع في نقطة تُسمى مُلتقى الارتفاعات أو المركز القائم (بالإنجليزية: Orthocenter).

للقراءة حول ارتفاع المثلث، يمكن الاطلاع على المقال التالي: كيف أحسب ارتفاع المثلث.

خصائص المثلث

إضافةً إلى ما تم ذكره، تشمل خصائص المثلث ما يلي:

إذا وازى مستقيم أحد أضلاع المثلث وقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسم المثلث إلى مثلثات متشابهة ومتناسبة في الطول.
مجموع أطوال أي ضلعين من المثلث يكون دائمًا أكبر من طول الضلع الثالث، والفرق بين أطوال أي ضلعين يكون دائمًا أقل من طول الضلع الثالث.
الزاوية الخارجية للمثلث تعادل مجموع الزوايا الداخلية المقابلة لها، ومجموع الزوايا الخارجية للمثلث يساوي 360 درجة.
يعمل الارتفاع على تقسيم المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع القاعدة إلى نصفين متساويين فضلًا عن تقسيم المثلث إلى مثلثين متساويين.

للمزيد من المعلومات والأمثلة حول خصائص المثلث، يمكن قراءة المقال التالي: خصائص المثلث.

أنواع المثلثات

أنواع المثلثات حسب طول الأضلاع

يمكن تصنيف المثلثات حسب طول الأضلاع إلى الأنواع التالية:

المثلث متساوي الأضلاع: (بالإنجليزية: Equilateral Triangle) مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية في الطول، وثلاث زوايا متساوية كل واحدة منها 60 درجة.
المثلث متساوي الساقين: (بالإنجليزية: Isosceles Triangle) مثلث له ضلعان متساويان في الطول وزاويتان متساويتان في القياس تدعمان زاويتي القاعدة.
المثلث مختلف الأضلاع: (بالإنجليزية: Scalene Triangle) مثلث لا يحتوي على أي أضلاع متساوية في الطول أو زوايا متساوية في القياس.

ملاحظة: يمكن تمييز الأضلاع المتساوية في الطول بوضع علامة خط مائل عليها.

للمزيد من المعلومات حول المثلث متساوي الأضلاع يمكن قراءة المقال التالي: قانون مساحة المثلث متساوي الأضلاع. وللمزيد عن المثلث متساوي الساقين يمكن الاطلاع على المقالات التالية: خصائص المثلث متساوي الساقين، قانون مساحة المثلث متساوي الساقين، ارتفاع مثلث متساوي الساقين.

أنواع المثلثات حسب الزوايا

يمكن تقسيم المثلثات حسب الزوايا كالتالي:

المثلث حاد الزوايا: (بالإنجليزية: Acute Triangle) مثلث تكون جميع زواياه أقل من 90 درجة.
المثلث قائم الزاوية: (بالإنجليزية: Right Triangle) مثلث يحتوي على زاوية قائمة قياسها 90 درجة، ومن أنواع المثلثات القائمة الخاصة:
- مثلث (90-45-45): وهو مثلث قائم الزاوية حيث يكون قياس كل زاوية من الزوايا الأخرى 45 درجة، مما يجعله متساوي الساقين، وتكون الأضلاع في هذا المثلث متناسبة بنسبة 1: 1: 2√.
- مثلث (90-60-30): مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاوية تبلغ 60 درجة والأخرى 30 درجة، ويكون غير متساوي الساقين ومختلف الأضلاع، وتكون الأضلاع في هذا المثلث متناسبة بنسبة 1: 3√: 2.
المثلث منفرج الزاوية: (بالإنجليزية: Obtuse Triangle) مثلث يمتلك زاوية منفرجة قياسها أكبر من 90 درجة.

ملاحظات مهمة:

يمكن أن يحمل المثلث اسمين، مثل أن يكون مثلثًا قائم الزاوية ومتساوي الساقين في نفس الوقت.
تُعرف أضلاع المثلث القائم الزاوية بأسماء خاصة، حيث يُسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة وترًا، بينما يُسمى الضلعان الآخران بالساقين.
يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، إذ يعبِر مربع الوتر عن مجموع مربعي الضلعين الآخرين بالقانون التالي: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)².
في المثلث القائم الزاوية، يعد الارتفاع هو أحد الضلعين المتعامدين على الآخر. إذا اعتبرنا أحدهما هو الارتفاع، فإن الضلع الآخر العمودي عليه هو قاعدة هذا المثلث.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول زوايا المثلث، يمكن قراءة المقال التالي: حساب زوايا المثلث. وللمزيد من المعلومات عن المثلث قائم الزاوية، يرجى الاطلاع على المقالات التالية: قانون المثلث قائم الزاوية، كيفية حساب أضلاع المثلث القائم، كيفية حساب محيط المثلث القائم، ارتفاع المثلث القائم.

أمثلة متنوعة حول أنواع المثلثات

المثال الأول: إذا كان أحد زوايا مثلث قياسها °115، فما نوع هذا المثلث حسب زواياه؟
- الحل:
- بما أنه يحتوي على زاوية منفرجة قياسها °115، فهو مثلث منفرج الزاوية.

المثال الثاني: مثلث لديه زاوية قياسها °112، ما هو نوع هذا المثلث حسب زواياه؟
- الحل:
- بما أن الزاوية منفرجة قياسها °112، فإن هذا المثلث هو مثلث منفرج الزاوية.

المثال الثالث: إذا كان لدينا مثلث أب ج حيث أن أب=5 سم، ب ج=12 سم، أج=13 سم، وكان أب عمودياً على ب ج، فما نوع هذا المثلث حسب أضلاعه؟
- الحل:
- بما أن أطوال الأضلاع مختلفة، فهو مثلث مختلف الأضلاع.

المثال الرابع: إذا كانت قياسات زوايا مثلث هي °46، °63، °71، ما هو نوع هذا المثلث؟
- الحل:
- بما أن جميع الزوايا أقل من 90 درجة، فإنه مثلث حاد الزوايا.

للمزيد من المعلومات حول أنواع المثلثات، يمكن الاطلاع على المقال التالي: انواع المثلثات.

تشابه وتطابق المثلثات

يمكن تعريف تشابه وتطابق المثلثات كما يلي:

تطابق المثلثات: يكون مثلثان متطابقان عندما يكون لهما نفس الشكل والحجم وكذلك نفس الزوايا، ويرمز له بالرمز (≅). شروط تطابق المثلثات تشمل:
- تساوي أطوال الأضلاع الثلاثة (SSS): يتطابق مثلثان إذا كانت أطوال أضلاع الثلاثة متساوية مع أطوال أضلاع مثلث آخر.
- تساوي طول ضلعين والزاوية بينهما (SAS): يتطابق مثلثان عندما يتساوى طول ضلعين من المثلث الأول مع طول الضلعين المقابلين لهما من المثلث الآخر، وتكون الزاوية المحصورة بين الضلعين في كلا المثلثين متساوية.
- تساوي قياس زاويتين وطول الضلع المشترك بينهما (ASA): يتطابق مثلثان عندما تكون الزاويتان متساويتين والضلع المشترك بينهما في المثلث الأول مع الزاويتين والضلع من المثلث الآخر متساويان.
- تساوي طول وتر مثلث قائم الزاوية وأحد الأضلاع: عندما يتساوى طول وتر مثلث قائم الزاوية وأحد ضلعه مع طول وتر مثلث آخر قائم الزاوية وأحد أضلاعه.

تشابه المثلثات: يشير إلى كون المثلثان متشابهان حين يكون لهما نفس قياس الزوايا ولكن يختلفان في الحجم وتكون أضلاعهما متناسبة، ويرمز له بالرمز (∽). شروط تشابه المثلثات تشمل:
- تناسب جميع الأضلاع (SSS): يتشابه مثلثان إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما متناسبة.
- ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS): يتشابه مثلثان عندما يتساوى قياس زاوية من مثلث مع قياس زاوية من مثلث آخر وتتناسب أطوال الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية.
- تطابق الزوايا (AAA): يتشابه مثلثان إذا كانت قياسات ثلاث زوايا متناظرة في كلا المثلثين متساوية.

للمزيد من المعلومات والأمثلة حول أنواع المثلثات، يمكن قراءة المقال التالي: بحث عن تشابه المثلثات.

مساحة المثلث ومحيطه

يمكن تعريف مساحة المثلث على أنها مقدار الفراغ المحصور داخل المثلث. يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام عدة طرق مثل:

حساب المساحة باستخدام أطوال الأضلاع، والتي تساوي نصف طول قاعدة المثلث مضروبًا في ارتفاعه:
- مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع، وبالرموز: م = ½ × ق × ع؛ حيث:
  - ق: طول قاعدة المثلث.
  - ع: ارتفاع المثلث.

حساب المساحة باستخدام صيغة هيرون (بالإنجليزية: Heron’s formula)، وذلك باستعمال القانون التالي:
- مساحة المثلث = √(س × (س – أ) × (س – ب) × (س – ج))؛ حيث:
  - س: نصف محيط المثلث، س = ½ × (أ + ب + ج).
  - أ: طول الضلع الأول من المثلث.
  - ب: طول الضلع الثاني من المثلث.
  - ج: طول الضلع الثالث من المثلث.

- عند معرفة طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:
- مساحة المثلث = ½ × أ × ج × جاب؛ حيث:
  - أ: طول أحد أضلاع المثلث.
  - ج: طول ضلع آخر من المثلث.
  - ب: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ وج.

للمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث، يمكن قراءة المقال التالي: كيف أحسب مساحة المثلث.

محيط المثلث هو المسافة المحيطة بحواف المثلث ويتم حسابه بجمع أطوال أضلاعه الثلاثة:

محيط المثلث = الضلع الأول + الضلع الثاني + الضلع الثالث، وبالرموز: ح = أ + ب + ج، حيث:
أ: طول الضلع الأول في المثلث.
ب: طول الضلع الثاني في المثلث.
ج: طول الضلع الثالث في المثلث.

على سبيل المثال، إذا كانت أطوال أضلاع مثلث تبلغ 203، 208، و145 سم، فإن حساب المحيط يتم بجمع الأطوال وفقًا لقانون محيط المثلث: ح = أ + ب + ج، ومن ثم: محيط المثلث = 203 + 208 + 145 = 556 سم.

للمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث، يمكن قراءة المقالات التالية: قانون محيط المثلث، قانون محيط المثلث ومساحته.

بعض القوانين المتعلقة بالمثلثات

تشمل القوانين المتعلقة بالمثلثات ما يلي، عند افتراض أن أطوال أضلاع مثلث هي: أ، ب، ج، وزواياه المقابلة هي: اَ، بَ، جَ:

قانون الجيب: أ ÷ جا(أَ) = ب ÷ جا(بَ) = ج ÷ جا(جَ)؛ حيث:
- أ: طول أحد أضلاع المثلث، اَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
- ب: طول الضلع الثاني للمثلث، بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
- ج: طول الضلع الثالث للمثلث، جَ: الزاوية المقابلة للضلع ج.

للمزيد من المعلومات حول قانون الجيب، يمكن قراءة المقال التالي: قانون الجيب في الرياضيات، قانون الجيب وقانون جيب التمام.

قانون جيب التمام: أ² = ب² + ج² – 2 × ب × ج × جتا(أَ) ، أو ب² = أ² + ج² – 2 × أ × ج × جتا(بَ) ، أو ج² = ب² + أ² – 2 × ب × أ × جتا(جَ)؛ حيث:
- أ: طول أحد أضلاع المثلث، اَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
- ب: طول الضلع الثاني للمثلث، بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
- ج: طول الضلع الثالث للمثلث، جَ: الزاوية المقابلة للضلع ج.

للمزيد من المعلومات حول قانون جيب التمام، يمكن قراءة المقال التالي: ما هو قانون جيب التمام. وللمزيد من المعلومات حول قوانين المثلثات، يمكن الاطلاع على المقال التالي: قوانين حساب المثلثات.

أمثلة متنوعة حول المثلثات

المثال الأول: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع المثلث الأول هي: أ، 3 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني المقابلة لها هي: 14، 21 سم، ما هي قيمة أ؟
- الحل:
- بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (3/21) = 0.14.
- حساب طول الضلع (أ) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (أ/14) = 0.14، ومن ثم أ = 2 سم.

المثال الثاني: إذا كان المثلث أب ج مثلثًا قائم الزاوية في ج، وكانت د نقطة على الوتر أب، وج د عمودي على أب، وكان قياس الزاوية دأج = °65، فما هو قياس كل من الزاويا أج د وأب ج؟
- الحل:
- مجموع زوايا المثلث ∆أج د = 180، ومن ثم ∠أد ج + ∠دأج + ∠أج د = 180، أي 90 + 65 + ∠أج د = 180، ومن ثم ∠أج د = °25.
- بما أن أج عمودي على أج، فإن ∠أب ج = 90 درجة، وتكون مساوية لـ ∠ب ج د + ∠أج د، ومن ثم: ∠ب ج د + ∠25 = 90، ومن ثم ∠ب ج د = °65.
- مجموع زوايا المثلث ∆ب دج = 180، ومن ثم ∠ج ب د + ∠ب دج + ∠ ب ج د = 180، أي ∠ج ب د + 90 + 65 = 180، ومن ثم ∠ج ب د = °25، وبذلك تكون الزاويتان ∠أب ج = ∠ج ب د = °25.

المثال الثالث: مثلثان أطوال أضلاع الأول هي: 5، 11، 12 سم، وأطوال أضلاع الثاني هي: 4، 3، 5 سم، هل هما مثلثان قائم الزاوية؟
- الحل:
- تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الأول في معادلة فيثاغورس: أ²+ ب²= ج²، ومن ثم: (5)² + (11)² هل يساوي (12)²، حساب قيمة الطرف الأيمن: 25 + 121 = 146، وقيمة الطرف الأيسر: (12)² = 144، وبالتالي 146 ≠ 144، لذا المثلث الأول ليس قائم الزاوية.
- تعويض قيمة أطوال أضلاع المثلث الثاني في معادلة فيثاغورس: أ² + ب² = ج²، أي (4)² + (3)² هل يساوي (5)²، حساب قيمة الطرف الأيمن: 16 + 9 = 25، وقيمة الطرف الأيسر: (5)² = 25، وبالتالي الطرفين متساويين، لذا المثلث الثاني قائم الزاوية.

المثال الرابع: مثلث طول قاعدته 4 سم وارتفاعه 10 سم، ما هي مساحته؟
- الحل:
- التعويض في قانون مساحة المثلث، م=½ × القاعدة × الارتفاع، ومن ثم مساحة المثلث = ½ × 4 × 10، وبالتالي المساحة = 20 سم².

المثال الخامس: مثلث أطوال أضلاعه: 5، 6، 7 وحدة طول، ما هي مساحته؟
- الحل: باستخدام صيغة هيرون لحساب المساحة:
- حساب قيمة نصف المحيط بالتعويض في قانون نصف محيط المثلث: س = ½ × (أ + ب + ج)، س = ½ × (5 + 6 + 7)، مما يعني س = 9.
- التعويض في صيغة هيرون لإيجاد مساحة المثلث: مساحة المثلث = √(س × (س – أ) × (س – ب) × (س – ج))، ومن ثم مساحة المثلث = √(9 × (9 – 5) × (9 – 6) × (9 – 7))، وبالتالي المساحة = 14.7 وحدة².

المثال السادس: مثلث طول قاعدته 12 سم، ومساحته 42 سم²، ما هو ارتفاعه؟
- الحل:
- باستخدام قانون مساحة المثلث، نجد: مساحة المثلث = ½ × القاعدة × الارتفاع، ومن ثم: 42 = ½ × 12 × الارتفاع، وبالتالي الارتفاع = 7 سم.

المثال السابع: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه 6 سم، وقياس زاوية الرأس هو °36.4، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟
- الحل:
- بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن زوايا القاعدة متساوية. فرضًا أن قياس إحدى زوايا القاعدة هو س، ومجموع زوايا المثلث = 180، إذًا: 2س + 36.4 = 180، وبالحساب نجد س = (180 – 36.4) ÷ 2 = °71.8.

المثال الثامن: مثلث قائم الزاوية، ارتفاعه 0.3 م، وطول قاعدته 1 م، ما هو طول وتره، وما هي مساحته؟
- الحل:
- تعويض قيمة طول الأضلاع في معادلة فيثاغورس: أ² + ب² = ج²، ينتج (0.3)² + (1)² = ج²، ومن ثم ج = 1.044م.
- التعويض في قانون مساحة المثلث: مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع، وبالتالي مساحة المثلث = ½ × 1 × 0.3، ومن ثم م = 0.15 م².

للمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلث قائم الزاوية، يرجى قراءة المقال التالي: قانون مساحة المثلث قائم الزاوية.

المثال التاسع: مثلث متساوي الساقين، قياس زاوية الرأس هو °100، ما هو قياس زوايتي القاعدة؟
- الحل:
- بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن زوايا القاعدة متساوية. فرضًا أن قياس إحدى زوايا القاعدة هو س، ومجموع زوايا المثلث = 180، إذًا 2س + 100 = 180، ومن ثم: س = (180 – 100) ÷ 2 = °40، وهو قياس زوايا القاعدة.

المثال العاشر: مثلثين متشابهين، أطوال أضلاع الأول هي: 52.3، س، 23.5 سم، وأطوال أضلاع الثاني هي: ص، 8.6، 7.3 سم، ما هي أطوال الأضلاع المجهولة؟
- الحل:
- بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين طول أضلاعهما متساوية: (23.5/7.3) = 3.22.
- حساب طول الضلع (ص) بالتعويض: (52.3/ص) = 3.22، ومن ثم ص = 16.2 سم.
- حساب طول الضلع (س): (س/8.6) = 3.22، ومن ثم س = 27.7 سم.

المثال الحادي عشر: مثلث طول ضلعيه هو: ج = 7 سم، ب = 8 سم، وقياس الزاوية المقابلة للضلع أ (∠أَ)= °33، ما هو طول الضلع (أ) وقياس باقي الزوايا؟
- الحل:
- حساب طول الضلع الثالث بواسطة قوانين جيب التمام: أ² = ب² + ج² – 2 × ب × ج × جتا(أَ)، لنجد: أ² = (8)² + (7)² – 2 × 8 × 7 × جتا(33)، ومن هنا أ = 4.37 سم.
- حساب بقية الزوايا عبر قانون الجيب:
  - أ ÷ جا(أَ) = ب ÷ جا(بَ)، لنحسب قيمة الزاوية المقابلة للضلع ب، ونعيدها كالتالي: 4.37 ÷ جا(33) = 8 ÷ جا(بَ)، ومن ثم الزاوية بَ = °86.18.
  - أ ÷ جا(أَ) = ج ÷ جا(جَ)، لنحسب قيمة الزاوية المقابلة للضلع ج، ونعيدها كالتالي: 4.37 ÷ جا(33) = 7 ÷ جا(جَ)، ومن ثم الزاوية جَ = °60.82.

المثال الثاني عشر: مثلث متساوي الساقين، طول أحد ساقيه هو 5 سم، وطول نصف القاعدة 4 سم، ما هو محيطه؟
- الحل:
- بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن ضلعيه متساويان، كل منهما 5 سم، وطول القاعدة هو: 2 × 4 = 8 سم.
- تعويض أطوال الأضلاع في قانون محيط المثلث: ح = أ + ب + ج، لينتج: محيط المثلث = 5 + 5 + 8 = 18 سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث متساوي الساقين يمكن قراءة المقال الآتي: قانون محيط المثلث متساوي الساقين.

المثال الثالث عشر: مثلث ∆أب ج قياس زواياه هو ∠أب ج = 4س + 3، ∠أج ب = 2س + 6، ∠ب أج = 3س، ما هي قيمة س، وما قياس الزاوية ∠ب أج؟
- الحل:
- مجموع زوايا المثلث ∆أب ج = 180، لذا: ∠أب ج + ∠أج ب + ∠ب أج = 180، ومن ثم (4س + 3) + (2س + 6) + (3س) = 180، أي 9س + 9 = 180، وبالتالي نجد أن س = 19.
- التعويض بقيمة س في ∠ب أج = 3س، مما يعني ∠ب أج = 3 × 19، وبالتالي قياس ∠ب أج = 57 درجة.

المثال الرابع عشر: إذا تبعد طائرة مسافة 8 أميال غربًا و15 ميلاً جنوبًا عن وجهتها، فما هي المسافة التي تفصلها عن وجهتها المقصودة؟
- الحل:
- تشكل المسافات التي تفصل الطائرة عن وجهتها مثلثًا قائم الزاوية، والمطلوب هو الوتر، وهو المسافة المباشرة التي تحتاجها الطائرة للعودة إلى وجهتها. لذا سنستخدم قاعدة فيثاغورس: أ² + ب² = ج²، ليظهر أن: (8)² + (15)² = ج²، ومن ثم يكون ج = 17 ميل، وهو بعد الطائرة عن الوجهة المقصودة.

للمزيد من المعلومات والأمثلة حول نظرية فيثاغورس، يمكنك قراءة المقال التالي: قانون نظرية فيثاغورس.