الكميات الفيزيائية
تتضمن الفيزياء مجموعة متنوعة من الكميات الفيزيائية، حيث يتطلب بعضها تحديد مقدار هذه الكميات فقط، بينما يحتاج البعض الآخر إلى التعبير عن كميتها واتجاهها. ويعتبر هذا التنوع في الكميات الفيزيائية أمرًا بالغ الأهمية لفهم الطبيعة بدقة وشمولية، حيث تُعد الفيزياء إحدى العلوم الطبيعية.
أما الكميات القياسية فهي تلك التي تتطلب مقدارًا فقط ولا تحتاج إلى اتجاه لتحديدها، ومن الأمثلة عليها: درجة الحرارة، الحجم، الكتلة، الطاقة، الكثافة، والضغط. على النقيض من ذلك، تتطلب الكميات المتجهة معرفة كل من المقدار والاتجاه للتعبير عنها بشكل كامل. من أمثلة الكميات المتجهة: القوة، الوزن، السرعة، التسارع، الزخم الخطي، والإزاحة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا سلة تحتوي على عشر ثمار من التفاح، فإن جملة “السلة تحتوي على عشر تفّاحات” تفي بالغرض دون الحاجة لذكر الاتجاه، مما يوضح أننا بصدد الكميات القياسية. بينما إذا تم الإشارة إلى أن سرعة سيارة معينة تبلغ 50 ميلاً في الساعة، فإنه من الضروري أيضًا تحديد الاتجاه لإكمال الوصف بدقة.
عند مقارنة كميتين قياسيتين، تكون العملية بسيطة وسهلة؛ إذ يمكن إجراء العمليات الحسابية على كل منهما. ولكن عندما يتعلق الأمر بمقارنة كميتين متجهتين، يصبح الأمر أكثر تعقيدًا لأنه يجب مراعاة كل من المقدار والاتجاه عند إجراء أي عمليات حسابية، مثل الجمع والطرح والضرب.
مكونات المتجهات
لكل متجه مكونات تعتمد على نظام الإحداثيات المستخدم، وفي هذا السياق، سيتم التركيز على نظام الإحداثيات الديكارتي. يمكن التعبير عن كافة المتجهات في المستوى الديكارتي من خلال مكونات سينية وصادية وعينية. حيث يُعبر كل متجه عن مجموع هذه المكونات الثلاثة، أي أن المكونات تكون عبارة عن المركبة السينية مضروبة بمتجه الوحدة السيني، والمركبة الصادية مضروبة بمتجه الوحدة الصادي، والمركبة العينية مضروبة بمتجه الوحدة العيني. تعتبر المكونات تعبيرًا عن طول المتجه على محاور نظام الإحداثيات، إذ يمكن القول أن طول المتجه على محور السينات يساوي المركبة السينية، والأمر ذاته ينطبق على المركبتين الصادية والعينية.
كما هو مذكور سابقًا، يظهر متجه الوحدة عند التعبير عن المتجهات باستخدام المكونات، ويمكن تعريفه بأنه متجه عديم الأبعاد مقداره واحد، ويعبر اتجاهه عن اتجاه كل مكون من مكونات المتجه. وتختلف متجهات الوحدة باختلاف نظام الإحداثيات المستخدم. إذا افترضنا وجود متجه في المستوى السيني والصادي فقط، وكانت الزاوية بين محور السينات والمتجه تساوي (φ)، فإن المقدار السيني سيكون مساوياً لطول هذا المتجه مضروبًا في جيب التمام للزاوية (φ)، في حين أن طول المركبة الصاديّة سيكون مساوياً لطول المتجه مضروبًا في جيب الزاوية (φ).
خصائص الكميات المتجهة
تتميز الكميات المتجهة بعدد من الخصائص، وهي أكثر تعقيدًا من خصائص الكميات القياسية نظرًا لحاجتها إلى كل من المقدار والاتجاه. وقبل مناقشة خصائص المتجهات، يجب توضيح أنه يمكن تمثيل المتجهات -في بعض الحالات- بواسطة الأسهم، حيث يعبر طول السهم عن مقدار المتجه، ويشير اتجاهه إلى اتجاه المتجه. من أبرز خصائص المتجهات:
- تساوي المتجهات: يعتبر المتجهان متساويين فقط إذا كانا يمتلكان نفس المقدار ويشيران إلى الاتجاه نفسه. على سبيل المثال، إذا كان هناك متجهان يشيران إلى الشمال ومقدار كليهما 5، فإنهما متساويان. بينما إذا كان لأحدهما مقدار مختلف أو اتجاه آخر، فليس من الممكن اعتباره متساويًا.
- جمع المتجهات: يمكن جمع المتجهات عن طريق تجميع مكوناتها معًا، مثل جمع المركبات السينية، والمركبات الصادية، والمركبات العينية كلٌ على حدة. كما يمكن جمع المتجهات بطريقة هندسية من خلال وضع المتجه الأول ثم وضع ذيل المتجه الثاني على رأس المتجه الأول، ثم يُرسم سهم من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الأخير، وهو ما يُعرف بالمتجه المحصّل. يجدر بالذكر أن جمع المتجهات يخضع لخاصيتي التبادلية والترابط.
- المتجه السالب: إذا كان لدينا متجه (A)، فإن المتجه السالب هو ذلك الذي ينتج عنه صفر عند جمعه مع المتجه (A)، ويكون له نفس مقدار المتجه الموجب ولكنه في الاتجاه المعاكس.
- طرح المتجهات: عملية الطرح مشابهة لعملية الجمع، ولكن يتم اعتبار المتجه الأول زائدًا مع سالب المتجه الثاني حينما نضيف اتجاهه.
- ضرب المتجه بكميات قياسية: يتمثل ضرب المتجه بـ كمية قياسية في تغيير مقدار المتجه دون تغيير اتجاهه.
- ضرب المتجهات ببعضها البعض: هناك نوعان من الضرب في هذا السياق؛ الضرب النقطة الذي ينتج كمية قياسية، والذي يعرف بالضرب القياسي، في حين أن الضرب التقاطعي ينتج عنه متجه جديد عمودي على المتجهين الذين تم ضربهما، وبالتالي يعرف بالضرب الاتجاهي.